保型形式に付随するモチーフの具体的構成に関する研究

2009 年度 自己評価報告書

• 研究課題/領域番号: 19740017
• 研究種目: 若手研究(B)
• 配分区分: 補助金
• 研究分野: 代数学
• 研究機関: 大阪府立大学 (2008-2010); 広島大学 (2007)
• 研究代表者: 山内 卓也 大阪府立大学, 総合教育研究機構, 教育拠点形成教員 (90432707)
• 研究期間 (年度): 2007 – 2010
• キーワード: 保型形式 / ガロア表現 / L関数

研究概要

私は現在までにQ-曲線、及び、そのモチーフへの一般化であるQ-モチーフの性質を解明し、一部のQ-曲線に対してはその保型性を示し、Q-モチーフに対してはTate予想がその保型性を導くことを示した。この研究は保型形式(解析的対象)と代数体上のモチーフ(幾何的対象物)との対応を主張するLanglands予想の傍証ともなっている。Q上の楕円曲線やQ-曲線及び、Q-モチーフなどの幾何的な対象物は楕円保型形式と呼ばれるものに対応していた。楕円保型形式は代数群GL_2/Qに付随するリーマン面(モジュラー曲線)上のベクトル値調和形式と見做せる。楕円保型形式には重さとレベルが定義されており、この二つを指定することで楕円保型形式に対応する幾何的対象の性質を知ることができる。本研究計画は、私が行ってきた、Qモチーフに対する保型性問題の研究を一般の代数体上のモチーフMに置き換えて考えたとき、Mに対応する保型形式を特定し、実際、それが対応していることを示すことである。そして、保型形式に対応しているモチーフを理論に見合うだけ豊富に構成することにある。具体例を構成することの意義は、保型形式とモチーフが実際に対応している既知の具体例は少なく、例えば、与えられたHodge-typeを持つモチーフに対して、対応すべき保型形式が構成されていれば、数論の問題に応用が期待できるという点にある。

研究成果

• [雑誌論文] The rank of Jacobian varieties over the maximal abelian extensions of number fields (2010)
  • 著者名/発表者名: F. Sairaiji, T. Yamauchi
  • 雑誌名: Toward Frey-Jarden's conjecture, to appear in the journal of the Canadian Mathematical Bulletin
  • 査読あり
• [雑誌論文] On rational torsion points of central Q-curves (2008)
  • 著者名/発表者名: F. Sairaiji, T. Yamauchi
  • 雑誌名: Journal de Theorie des Nombres de Bordeaux 20 ページ: 465-483
  • 査読あり
• [雑誌論文] Q-motives and modular forms (2008)
  • 著者名/発表者名: T. Yamauchi
  • 雑誌名: Journal of Number Theory 128 ページ: 1485-1505
  • 査読あり
• [雑誌論文] A Siegel modular threefold and Saito-Kurokawa type lift to S_3(\Gamma_{1, 3}(2)) (2008)
  • 著者名/発表者名: T. Okazaki, T. Yamauchi
  • 雑誌名: MathematischeAnnalen 341 ページ: 589-601
  • 査読あり
• [雑誌論文] An observation on the cyclicity of the group of the F_p- rational points of abelian surfaces, Algorithmic number theory and its applications (2007)
  • 著者名/発表者名: T. Yamauchi
  • 雑誌名: Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics 24,No.3 ページ: 307-318
  • 査読あり
• [学会発表] Endoscopic lift to the Siegel paramodular threefold related to Klein's cubic threefold (2010)
  • 著者名/発表者名: 山内卓也
  • 学会等名: 研究集会「保型表現と保型L-関数の数論的研究」
  • 発表場所: 東京大学
  • 年月日: 2010-01-18
• [学会発表] A Calabi-Yau family associated to some hypergeometric sheaf and its applications (2010)
  • 著者名/発表者名: 山内卓也
  • 学会等名: 研究集会「神戸整数論集会」
  • 発表場所: 神戸大学
  • 年月日: 2010-01-15
• [学会発表] 超幾何層に付随するCalabi-Yau多様体とその応用 (2009)
  • 著者名/発表者名: 山内卓也
  • 学会等名: 研究集会「p-進特殊関数と数論幾何」
  • 発表場所: 蔵王温泉
  • 年月日: 2009-10-28
• [学会発表] On rational torsion points of central Q-curves (2009)
  • 著者名/発表者名: 西来路文朗
  • 学会等名: ミニ・ワークショップ「モジュラー曲線と志村曲線の有理点」
  • 発表場所: 京都大学総合研究4号館307号室
  • 年月日: 2009-10-26
• [学会発表] GSp4に対するセール予想、同伴形式、テータ作用素 (2009)
  • 著者名/発表者名: 山内卓也
  • 学会等名: 東北大学代数学セミナー
  • 発表場所: 東北大学
  • 年月日: 2009-07-09