| 研究概要 |
有限群のモジュラー表現における問題は主に、与えられた有限群のある素数に関する表現の情報はその素数に関する局所部分群の表現の情報により得られるのではないか、という考えに基づいている。ブラウアーの第一主定理により、有限群のブロックは同じ不足群をもつ局所部分群のブロックと一対一に対応することが知られているが、これは表現の対応について述べたものではない。それに対し、ブルエは可換な不足群をもつブロックはブラウアー対応するブロックに導来同値ではないかと予想している。導来同値である2つのブロックは表現論的な情報が多く保たれるため、重要な予想と考えられている。
ブルエの予想の解決を目指すために, 不足群が非可換となるブロックで状況のよいものについても考察をする必要がある。本年度の研究ではとくに, 非可換不足群をもつブロックのなかで, シロ一部分群が巡回群となるような部分群を指数pでもつ群の主ブロックについて, 前年度に引き続き考察を行った。とくに、巡回不足群をもつブロックの導来同値を利用して、この設定で導来同値となる具体的なブロックの例を計算した。これまでに、非可換不足群をもつ場合の導来同値はあまり計算されていないため、この計算例は重要であると考えられる。また、2つのブロックの間に導来同値があれば, それらのブロックの指標の間にパーフェクト・アイソメトリーと呼ばれるよい対応があることがわかっているが、この設定においても指標の対応について考察を行った。また, 無限系列の群における主ブロックの森田同値についても、とくに非可換不足群をもつ場合に考察した。
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