| 研究概要 |
有限群のモジュラー表現における重要な問題には,例えば,与えられた群の可換不足群をもつブロックとそれにブラウアー対応するp-局所部分群のブロックは導来同値だろうと予想した,ブルエによる可換不足群予想がある。可換不足群予想の解決のためには非可換不足群をもつブロックについての考察も重要であると考えられている。また,有限体上の一般線型群などの無限系列の群についての可換不足群予想は,与えられた有限p-群を不足群にもつブロックの森田同値類は有限個だろうと予想したドノバン予想とも関係し重要である。これらのことを踏まえて,今年度は,非可換不足群をもつ一般線型群のブロックの森田同値類分類に関する研究を行った。具体的には,2つの有限体上のp次一般線型群の主pブロックに対し,その2つの有限体の乗法群の位数がpで一回以上同じ回数割り切れているときに,森田同値になること,すなわち条件を満たす無限個の主ブロックが森田同値であることを示した。同様のことは,より一般に成立すると思われるため,さらに考察を続けた。また,主ブロック間の森田同値や導来同値,安定同値を局所部分群のブロックの導来同値の張り合わせを用いて構成する際に,スコット加群のブラウアー直既約性が重要となることが判明したため,これについても考察を進めた。その結果,可換なバーテックスPをもつ有限群Gのスコット加群がブラウアー直既約となるための必要十分条件は,GにおけるP上のfusion systemがsaturatedであるということを証明できた。非可換なバーデックスをもつスコット加群のブラウアー直既約性についても考察を続けた。
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