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本研究の目的は以下のとおりであった。
(1)非退化な超曲面単純K3特異点のリンクの位相型の決定。
(2)非退化な超曲面単純K3特異点のリンクの位相型とそのQ-分解的極小モデルの例外因子として現れる既約な正規K3曲面との関係を明らかにする。
これらの目的は、島田伊知朗氏(広島大)と共同研究を行うことでほぼ達成され、得られた研究主結果は以下のとおりである。
非退化な超曲面単純K3特異点のリンクの微分位相型は、実2次元球面と実3次元球面の直積のいくつかの連結和になる。
証明において、スメール氏の結果である「リンクの微分位相型が、リンクの2次元ホモロジー群のみで決定できる」ことが本質的に使われる。これまでリンクの2次元ホモロジー群は、特異点のミルナー・ファイバーにおけるモノドロミーの緻密な計算により決定されてきたが、高次元での計算はかなり複雑になる。そこで本研究では、特異点の解消で現れる正規K3曲面の持つ特異点の情報を用いて、正規K3曲面の特異点から構成される格子がK3格子に原始的に埋め込まれていることを証明することにより、リンクの2次元ホモロジー群を求めた。
本研究により、高次元特異点の新しい研究手法を開発した意義は大きい。
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