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1. エンゲル・ルジャンドル変換はルジャンドル曲線とミンコフスキー空間内の光的曲線との双対性を記述する変換です。ルジャンドル曲線から導入される光的接線曲面は局所的に波面であることが分かり、ジェネリックな特異点をすでに求めましたので、もう一方の光的曲線から導入されるルジャンドル接線曲面にどのような特異点がジェネリックに現れ、それらの特異点がどのように対応しているのかを次年度に決定したいと思います。
2. 一般的に完全積分可能であるimplicitなn階の常微分方程式の定性理論を研究しました。正規形の場合は局所的に解の存在と一意性が成り立ち、nパラメータ族の解が存在することが知られています。しかし、implicitな場合には一般的には成立しませんので、その条件を研究しました。その結果、完全積分可能である1階と2階のimplicitな常微分方程式に対するタイプの分類を行い、タイプごとの性質を調べました。また、この場合において幾何学的解の存在と一意性が成立する必要十分条件が得られました。
3. 双曲空間とド・シッター空間における部分多様体とモデル曲面との接触の様子が分かりました。特に、対応する焦面と波面の族が保たれる必要十分条件が分かり、この結果を用いると、部分多様体の焦面とその管状近傍による超曲面の焦面が対応していることが分かりました。次年度は光錐内の部分多様体に関して管状近傍を導入し、ルジャンドル双対性を用い、性質を研究したいと思います。
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