| 研究概要 |
本研究は再生核の微分幾何学的理論の構築,および再生核を用いた情報幾何学の理論構築を目的とする.また,再生核理論,および情報幾何学に関連した微分幾何学の発展を目的とする.再生核とは数学的によい性質を持つ関数であるが,近年は非線形相関解析など数理統計科学の分野にも応用され実用上も有用である.本研究は理論,応用の双方に有用である再生核について,幾何学的側面からの数学的性質の研究,および幾何学への応用を目指すものである.この研究目的に対し本年度は,特に具体的な再生核についてその幾何学の解明,再生核の持つ一般的な幾何学的性質の考察,さらに情報幾何学における理論解明を目標とし研究を遂行した.
前述のように,近年機械学習を始めとする数理統計科学の分野では,多くの再生核が用いられている.この分野に関連する学会,研究集会等に参加し,再生核の具体的な使用法などの情報収集を行った.その結果,ヒルベルト空間(数理統計科学分野の用語では特徴空間)における値域集合の接空間分布の決定など,幾何学的にもまったく新しい問題が得られた.再生核の具体的な性質とともに,今後解明するべき問題であると考えており研究を継続している.また情報幾何学の理論として,統計多様体の一般化と捩れを持つアファイン接続に関する結果を得た.アファインはめ込みから統計多様体を拡張した幾何構造が得られるが,そこから自然に捩れを持つアファイン接続が構成できることを示した.再生核理論を情報幾何学に応用する場合,その幾何構造は統計多様体よりも広いクラスを扱わなければならないため,既存の統計多様体の一般化を研究することは本研究にも必要不可欠である.なおこの研究成果は微分幾何学に関する国際学会において口頭発表を行っている。
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