| 研究概要 |
東北大学の野原雄一氏, 大阪大学の植田一石氏と共同で旗多様体のフレアーホモロジーに関する研究を進めた。C. Cho氏, Y. Oh氏によるトーリック多様体のフレアーホモロジーの研究の拡張を目指したもので, A型の旗多様体のトーリック退化を利用することにより、Gelfand-Cetlin系のマスロフ指数2のLagrangian境界条件の正則ディスクの数え上げを行うことができた。結果として, ミラー対称性で重要なsuperpotentialという関数を計算することができた。応用として、任意の$A$型のGelfand-Cetlin系のLagrangian fiberの中に必ずHamilton同相でindisplaceableなものがあることが従う。
またトーリック退化の考え方を用いて、トロピカル曲線を用いたトーリックと限らないFano多様体の有理曲線の数を数える方法を考案した。これによりA型の任意の旗多様体の特別なクラスのGromov-Witten不変量をトロピカル曲線を用いて計算することができ、また3次元空間のfull flag多様体やある種のFano完全交差の場合には全てのGromov-Witten不変量を計算することができる。
次に、任意種数の正則曲線のトロピカル曲線を用いた数え上げの問題を考察した。
non-superabundantと呼ばれる横断正則性が成立するクラスについては以前に結果を得ていたが、今年度はそれが成り立たないクラスの大部分についての数え上げができるようになった。トロピカル曲線に付随した新しい組み合わせの問題を定式化することにより障害にあたるコホモロジーの組み合わせ的な記述を与え、それが消える条件を、横断正則性の破れ方がgenericな場合に与えることができた。とくに種数1のトロピカル曲線は全てこの条件を満たし、これらの曲線に関しては数え上げ問題に完全な解答を与えることができる。また同様の議論により境界付きの場合も考察できる。
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