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グラフの因子問題は、与えられたグラフに対して、ある特定の性質をみたす全域部分グラフを見つけるという問題である。全域部分グラフとは、与えられたグラフのすべての点と一部の辺からなるグラフのことである。また、グラフのk-treeとは、各点から出る辺の本数が高々k本で、任意の2点間の道は1通りであるような全域部分グラフをいう。本研究の目的は次の2点にあった。(1)グラフ全体でもつ構造がグラフの一部分でもあり得るかを研究し、グラフ全体で知られている性質との関連性を追求していく。(2)連結因子の構造を様々な角度から検証し、その存在定理の解決方法を提示する。本年度は、上記研究目的の(1)と(2)の融合的解決をすることができた。既存の因子に対しては、これまで多くの研究者が多くの結果を残しているが、そのほとんどが連結性を問われていない因子に関するものであった。これに対し、グラフのk-treeという連結因子が存在するための次数条件がSein Winによって得られている。これはグラフ全体に対する連結因子が存在するためのひとつの重要な結果と言える。一方、本研究課題では、Winによるグラフのk-treeが存在するための次数条件を指定した一部の点集合に対しても、自然に適用できることを示すことができた。これは研究目的(1)を部分解決する結果であり、今後、本研究課題を続けていく上で重要な位置を占める、大変興味深い結果である。この結果は専門誌に受理され、今年度出版された。
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