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グラフの因子問題は、与えられたグラフに対して、ある特定の性質をみたす全域部分グラフを見つけるという問題である。全域部分グラフとは、与えられたグラフのすべての点と一部の辺からなるグラフのことである。本研究の目的は次の2点にあった。(1)グラフ全体でもつ構造がグラフの一部分でもあり得るかを研究し、グラフ全体で知られている性質との関連性を追求していく。(2)連結因子の構造を様々な角度から検証し、その存在定理の解決方法を提示する。本年度は、上記研究目的の(1)と(2)の融合的解決を主な目標とした。既存の因子に対しては、これまで多くの研究者が多くの結果を残しているが、そのほとんどが連結性を問われていない因子に関するものであった。また、グラフの一部分において、所望の部分グラフが存在するための諸条件については、これまで、ほとんど研究されていなかった。これに対し、本年度の私の研究ではグラフの木という連結構造について注目し、各点が隣接する端点の個数を制限した木が存在するための特徴づけをした。さらに、この木がグラフ全体には存在し得ないとき、同じ性質をもつなるべく位数の大きい部分木がどのくらいの位数になるかを計算することができた。これは研究目的(1)も部分解決する結果である。これらの結果は今後、本研究課題を続けていく上で重要な位置を占める、大変興味深い結果である。この結果は専門誌に投稿すべく、現在、論文としてまとめているところである。
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