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本年度は昨年度に引き続き、ラフパス理論の枠組みの中において、伊藤写像(=確率微分方程式の解)の大偏差原理やラプラスの方法とよばれる漸近挙動について研究を続けた。
これは、微分方程式を駆動するブラウン運動が小さなパラメーターで添え字付けされており、パラメーターがOに行く極限において、どう解が振舞うかを考える定理である。
今年はとくに、伊藤写像の係数がかならずしも有界でない場合について、過去に行った研究が拡張できるのかどうかを調べた。また、このことの応用としてある種の無限次元の確率過程に応用して、大偏差原理をその例について示した。
ここ最近は、同様の方法をフラクショナル・ブラウン運動とよばれる少々特殊な確率過程に関して試してみて、同様の定理が成り立たないのか試行錯誤している最中である。フラクショナル・ブラウン運動に対してはこの種の定理はまだ示されていないように思えるので、もし完成すれば単にラフパス理論を使った別証明というわけではなく、新定理になりそうである。これはラフパス理論の有用性を世間にアピールするにはいいと思う。
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