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非線形拡散現象を記述する放物型方程式について、おもに解の長時間挙動の観点から研究を行った。本年度の研究成果は以下のとおりである。
1.fast diffusion方程式と呼ばれる特異性を伴う拡散項を持つ放物型方程式の解の長時間挙動を明らかにし、有限時間で消滅する解の漸近形を明らかにした。また、符号変化する解を対象に、その漸近形の安定性・不安定性を明らかにした。ここで得られたは、初期値に符号変化する摂動を与えた場合の解の漸近形の安定性・不安定性を考えているため、定符号解の安定性について既存の研究で知られている事実よりも強い主張と言える。また符号変化する漸近形がすべて不安定であることも証明している。
2.WED汎関数と呼ばれる放物型方程式に対する変分的アプローチが近年提案されているが、本研究では二重非線形放物型方程式に対して同アプローチを拡張した。具体的には、ある変分問題の臨界点として近似解を与え、その極限として元の問題の解を得る。そのため、変分法で知られている手法を放物型方程式へ応用することが可能になった。今後は、周期問題やコンパクト性が破れる摂動問題など、既存の(二重非線形)放物型方程式に対する手法では明らかにできなかった問題への取り組みが課題となる。
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