| 研究概要 |
次の, 2複素変数冪零型と呼ばれる1階線型偏微分方程式
Lu(x,y)≡{α_0+α_1x+β(x,y)}yD_xu(x,y)+{α(x)+b(x,y)}y^2D_yu(x,y)+u(x,y)=f(x,y)
x,y∈C,D_x=∂/∂x, D_y=∂/∂y
α_0,α_1は複素定数(α_0≠0), β, a, b, fは原点で正則な関数, β(x,0)≡b(x,0)≡0
において, この方程式の発散解がBorel総和可能となる為の, 方程式の係数が満たすべき十分条件を与えることに成功しました.
前年度までの研究では,α_1=0かつα(x)が定数または線型関数の場合の結果が得られていました. 今年度の研究で, α_1≠0の場合, さらにα(x)が一般の正則関数の場合にも, 同様の結果, 即ち「発散解のBorel総和可能性は, 方程式の係数に対する"ある種の"解析接続可能性と, その偏導関数に対する"ある種の"増大(または減少)度によって保証される」という結果の証明に成功しました. α_1=0, α_1≠0のそれぞれの場合に応じて異なった結果(条件)が得られたのですが, α_1=0の場合の今年度の結果は, 上述の前年度の結果の一般化になっています.
上の"ある種の"と書かれた部分を実際に具体的な形で書き表すことが出来たことが最も重要な研究成果です. これを可能にする為には, 「微分作用素Lに形式的Borel変換と呼ばれる変換を施して得られる或る1階線型偏微分作用素に対して, その特性曲線の具体的表示を得る」ことが必要であり, α(x)が一般の関数の場合にこの具体的表示を得ることは非常に困難だったのですが, 今年度の研究で, それが可能になりました.
しかしながら, 当初はα_0+α_1xの部分も一般の関数として扱う, 即ち最も一般な形をした方程式を扱う計画であった為, 研究目的を完全に達成出来た訳ではありません. これについては今後の課題と考えております.
|
