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今年度は単射的III型因子環へのコンパクトカッツ環の極小作用の研究を昨年度にひきつづき行った。
昨年の研究では、双対離散カッツ環の作用が漸近内部的でかっ中心的自由な場合の作用が一意的になることを示したのだが、III型因子環への作用の場合には、上の条件を満たさないような場合もある。そこで、その特殊な場合として離散カッツ環が中心的自明な場合にどのようになるか調べた。この場合は私と戸松氏の共同研究によって、泉によって導入されたモジュラー自己準同型によって、記述されることがわかっている。すると作用に付随して、カッツ環の2次コサイクルが自然に生じる。これは一般には可換フォンノイマン環に値をとるユニタリ元となる。
そこでこのように生じるカッツ環の2次コサイクルを調べた。ワッサーマンによる先駆的研究の結果を少し改良することによって、まずスカラー値をとる2次コサイクルがある種の余可換性を満たす場合には、コサイクルから定義される双指標がコサイクルの同値類を決定することをまず示した。これは可換群について知られている結果の一般化とも言える。この結果を使うと上述した作用から自然に生じる(可換フォンノイマン環に値をとる)2次コサイクルはすべてスカラー値をとるものに同値であることが示される。この結果中心的に自明でかつ自由にIII型因子環に作用するカッツ環には強い制限がつき、コンパクト群の群環を少し変形したものしか許されないことがわかる。これは泉と幸崎による、同型なテンソル圏を表現空間としてもつカッツ環の特徴付けの研究の特殊な場合とも見なせる。
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