| 研究概要 |
本年度は,時聞発展を持つ1階のハミルトン・ヤコビ方程式に対する解の長時間挙動を研究した.特に,石井仁司教授(早稲田大学)との共同研究において,ハミルトニアンが概周期性などの弱い周期性を持つ場合も込めた漸近問題についていくつかの結果を得た.周期性よりも弱い「半周期性」を持つ場合は,昨年度以前の同教授との共同研究により既に調べられていたが,「概周期性」はこれよりも弱い概念である.
この問題に対するアプローチとして,解に対する最適制御問題(あるいは変分問題)による表現公式を採用した.この変分公式を用いることで,考えているハミルトン・ヤコビ方程式の解の長時間挙動,特に解が定常状態へ収束するメカニズムを,対応する最適制御問題の性質から明らかにすることができた.その結果,周期性よりも弱い「概周期的」なハミルトニアンを持つハミルトン・ヤコビ方程式の解の長時間挙動も考察の対象とすることができるようになった.これは,ハミルトニアンにランダムネスを含む揚合の解の長時間挙動を調べるための足掛かりとして期待できる結果である.
また,ハミルトニアンに周期性が全くない場合でも,ハミルトニアンおよび初期関数がある特別な形状を持つ場合には解が定常状態へ収束することを証明した.さらに,空間次元が1次元の場合には,一般次元の場合より弱い仮定の下で強い結果が得られることを示した.以上の結果を総合して,既存ないし最新の結果をある程度統一的な枠組みでとらえることができた.
本年度得られた結果は,国内外のセミナーおよび研究集会において報告された.また,国内外の研究者を訪問あるいは招へいし,上記の問題に関連するいくつかの話題についても議論した.
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