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2019 年度 実績報告書

古典場の理論における微分型相互作用の数学解析

研究課題

研究課題/領域番号 19H00644
研究機関早稲田大学

研究代表者

小澤 徹  早稲田大学, 理工学術院, 教授 (70204196)

研究分担者 田中 和永  早稲田大学, 理工学術院, 教授 (20188288)
町原 秀二  埼玉大学, 理工学研究科, 教授 (20346373)
BEZ NEAL  埼玉大学, 研究機構, 准教授 (30729843)
研究期間 (年度) 2019-04-01 – 2024-03-31
キーワード調和解析 / 漸近解析
研究実績の概要

微分型シュレディンガー方程式をはじめとする微分型相互作用を持つ古典場模型の非線型偏微分方程式は、ピカール逐次近似の枠組において、必然的に微分の損失を伴うため、その回避を巡って方程式に応じた個別の方法論が提案されているが、未だに本質的な理解に至っていない。本研究の目的は、近年の微分型シュレディンガー方程式の初期値問題の時間大域的存在を保障する新しい閾値の変分解析的理解を足掛かりとして、微分型相互作用の大域的構造を(a)漸近解析、(b)調和解析、(c)変分解析の三つの方法論に基づいて明らかにする事である。
令和元年度は、漸近解析班は自己相似解の研究を中心に、調和解析班は非線型ポテンシャルの研究・特性法の函数空間論的定式化を中心に、変分解析班は輪郭分解の基礎理論の研究を中心に研究を進めた。
特に、通常の非線型微分シュレディンガー方程式(Derivative Nonlinear Schr\"odinger Equation)の自己相似解を世界に先駆けて構成する事が出来た。求めるべき自己相似解が一つ決めた時刻の状態で決定されてしまう事に注目し、その時刻での波動函数を振幅函数と位相函数に分離して夫々が満たすべき微分方程式を導出したところ、位相函数が本質的には振幅函数で決定されてしまうと云う新しい知見を得た。これにより、振幅函数の大域解の構成に問題の全てが帰着する事になった。振幅函数の従う非線型常微分方程式を解析する事によって、大域解を構成する事が出来たので、自己相似解を具体的に表示する事が出来た。

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

研究計画は予定通り順調に進んでいる。現在までの研究で思いがけない着想が幾つか得られており、今後の進展に繋がる事が期待される。

今後の研究の推進方策

令和2年度は、令和元年度に引き続き、漸近解析班は自己相似解の研究を中心に、調和解析班は非線型ポテンシャルの研究・特性法の函数空間論的定式化を中心に、変分解析班は輪郭分解の基礎理論の研究を中心に研究を進める。後半からは、漸近解析班・調和解析班は分散構造の研究、変分解析班はハミルトン構造の研究にも着手する予定である。

  • 研究成果

    (18件)

すべて 2020 2019 その他

すべて 国際共同研究 (3件) 雑誌論文 (7件) (うち国際共著 5件、 査読あり 7件、 オープンアクセス 4件) 学会発表 (5件) (うち国際学会 2件、 招待講演 4件) 図書 (2件) 備考 (1件)

  • [国際共同研究] Nazarbayev University(カザフスタン)

    • 国名
      カザフスタン
    • 外国機関名
      Nazarbayev University
  • [国際共同研究] ピサ大学(イタリア)

    • 国名
      イタリア
    • 外国機関名
      ピサ大学
  • [国際共同研究] Nanjing Forestry University(中国)

    • 国名
      中国
    • 外国機関名
      Nanjing Forestry University
  • [雑誌論文] Cauchy problem and vanishing dispersion limit for Schr\"odinger-improved Boussinesq equations2020

    • 著者名/発表者名
      Fan Jishan、Ozawa Tohru
    • 雑誌名

      Journal of Mathematical Analysis and Applications

      巻: 485 ページ: 123857~123857

    • DOI

      https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2020.123857

    • 査読あり / オープンアクセス / 国際共著
  • [雑誌論文] Hardy type inequalities with spherical derivatives2020

    • 著者名/発表者名
      Bez Neal、 Machihara Shuji、 Ozawa Tohru
    • 雑誌名

      SN Partial Differ. Equ. Appl.

      巻: 1, Issue 1 ページ: Article 5

    • DOI

      https://doi.org/10.1007/s42985-019-0001-1

    • 査読あり / オープンアクセス
  • [雑誌論文] On global well-posedness for nonlinear semirelativistic equations in some scaling subcritical and critical cases2020

    • 著者名/発表者名
      Fujiwara Kazumasa、Georgiev Vladimir、Ozawa Tohru
    • 雑誌名

      https://doi.org/10.1016/j.matpur.2019.10.003

      巻: 136 ページ: 239~256

    • DOI

      https://doi.org/10.1016/j.matpur.2019.10.003

    • 査読あり / オープンアクセス / 国際共著
  • [雑誌論文] A blow-up criterion for the modified Navier-Stokes-Fourier equations2020

    • 著者名/発表者名
      Fan Jishan、Ozawa Tohru
    • 雑誌名

      Journal of Mathematical Fluid Mechanics

      巻: 22 ページ: Article 16

    • DOI

      https://doi.org/10.1007/s00021-019-0477-7

    • 査読あり / オープンアクセス / 国際共著
  • [雑誌論文] A note on bilinear estimates in the Sobolev spaces2019

    • 著者名/発表者名
      Fan Jishan、Ozawa Tohru
    • 雑誌名

      International Journal of Mathematical Analysis

      巻: 13 ページ: 551~554

    • DOI

      https://doi.org/10.12988/ijma.2019.91064

    • 査読あり / 国際共著
  • [雑誌論文] Semi-classical states for the nonlinear Choquard equations: existence, multiplicity and concentration at a potential well2019

    • 著者名/発表者名
      Cingolani Silvia、Tanaka Kazunaga
    • 雑誌名

      Rev. Mat. Iberoam.

      巻: 35 ページ: 1885~1924

    • DOI

      10.4171/rmi/1105

    • 査読あり / 国際共著
  • [雑誌論文] A note on deformation argument for $L^2$ normalized solutions of nonlinear Schr\"odinger equations and systems2019

    • 著者名/発表者名
      Ikoma Norihisa、Tanaka Kazunaga
    • 雑誌名

      Adv. Differential Equations

      巻: 24 ページ: 609~646

    • 査読あり
  • [学会発表] ポワンカレの不等式・温故知新2020

    • 著者名/発表者名
      Ozawa Tohru
    • 学会等名
      大阪大学 微分方程式セミナー
    • 招待講演
  • [学会発表] Spherical Harmonics and Hardy’s equality2020

    • 著者名/発表者名
      Machihara Shuji
    • 学会等名
      Recent Progress on Dispersive and Wave Equations
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] A new deformation result for singular perturbation problems2020

    • 著者名/発表者名
      Tanaka Kazunaga
    • 学会等名
      第 14 回非線形偏微分方程式と変分問題
  • [学会発表] Self-similar solutions to the derivative nonlinear Schr\"odinger equation2019

    • 著者名/発表者名
      Ozawa Tohru
    • 学会等名
      International Conference “Actual Problems of Analysis, Differential Equations and Algebra”(National academy of sciences of the Republic of Kazakhstan)
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Singular perturbation problems for nonlinear Choquard equations2019

    • 著者名/発表者名
      Tanaka Kazunaga
    • 学会等名
      東京工業大学理学部数学教室談話会
    • 招待講演
  • [図書] New Tools for Nonlinear PDEs and Application, Trends in Mathematics2019

    • 著者名/発表者名
      M. D'Abbicco, M. R. Ebert, V. Georgiev, and T. Ozawa (Eds.)
    • 総ページ数
      390
    • 出版者
      Birkh\"auser
    • ISBN
      9783030109363
  • [図書] Asymptotic analysis of nonlinear dispersive and wave equations2019

    • 著者名/発表者名
      K. Kato, T. Ogawa, and T. Ozawa (Eds.)
    • 総ページ数
      419
    • 出版者
      Mathematical Society of Japan
    • ISBN
      9784864970815
  • [備考] 早稲田大学理工学術院 先進理工学部応用物理学科 小澤 徹研究室

    • URL

      http://www.ozawa.phys.waseda.ac.jp/index2.html

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公開日: 2021-01-27  

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