| 研究課題/領域番号 |
19H01778
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| 研究機関 | 東北大学 |
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研究代表者 |
山内 卓也 東北大学, 理学研究科, 准教授 (90432707)
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| 研究分担者 |
都築 暢夫 東北大学, 理学研究科, 教授 (10253048)
山名 俊介 大阪市立大学, 大学院理学研究科, 准教授 (50633301)
宮内 通孝 岡山大学, 教育学研究科, 准教授 (70533644)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| キーワード | ジーゲル保型形式 / 法pジーゲル形式 / ガロア表現 / セール予想 / テータ作用素 / テータサイクル |
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| 研究実績の概要 |
今年度は先ず保型性問題に必要な保型表現に関する基礎的な知識・技術等の修得、ガロア表現の保型性に必要不可欠なセール予想解決に向けて必要なテータ作用素の計算、クリスタリン表現へのリフトを計算するためのガロアコホモロジーの解析、およびガロア表現の詳細な解析を行った。さらに、GSp4の場合に保型的な法p表現の潜在的対角化可能性を示し、多くの場合のセール予想の重さの部分を解決した。
テータ作用素に関しては、２０１４年頃に得られた自身の結果を、さらに見直すことで新しいテータサイクルを見つけ出すことに成功し、従来のものは重さに強い制限が付いていたが、一般の重さに対するテータサイクルを定義することが可能となった。ガロアコホモロジーの計算に関しては昨年ドイツ滞在中に計算したガロアコホモロジーの計算を指針として、セール重さの古典的な定義をジーゲル形式にどのように拡張するかを考察し、指標の拡張類がどのような分岐の悪さを持つかによって重さが変動することを観測した。この部分の結果は現在論文に纏めているところである。セール予想を解決する上で必要不可欠な部分は保型的な法pガロア表現が与えられた場合、保型性を保つ良い性質を満たすリフトであるp進ガロア表現の存在を示すことが重要である。この部分を示すためにガロア表現の局所的性質である潜在的対角化可能性について大域的手法を用いた解析をGSp4の場合に実行した。その際に必要な要素として、Jacquet-Langlands 対応を用いたコンパクト形式上の代数的保型形式の解析、重さ０リフトの構成、パラホリック制限を用いた保型表現の格子の存在と悪い成分における局所成分の入れ替え等がある。Jacquet-Langlands 対応は最近GSp4の場合に非常に一般の設定で確立されておりこれを援用した。この部分は現在論文に纏めている段階である。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
セール予想の重さ予想を解決する上で重要であるのは保型性持ち上げリフトの定理を充実させることである。特に、与えられた法ｐガロア表現に対して、その局所ガロアタイプから局所的なクリスタリンリフトが与えられたときそれを居所成分に持つような保型的なリフトが構成できるかどうかが重要になる。現段階でのセール予想解決に向けた問題点は現在利用できる保型性持ち上げリフトにはそれなりの制約が課されているという点であり、セール予想を解決するにはまだまだ不十分なところが多い点である。申請者はGL_2の場合に開発されたBarnet-Lamb, Gee, Geraghtyの潜在的通常リフトの構成に使った手法に習って、GSp4の場合に保型性持ち上げリフトを改良した。しかし, Gsp4という群の大きさ故に解決しなくてはならない問題点が多く、それは、今後 GSp4を超えて申請者の手法を拡張しようとすると超えなくてはならない問題点が必然的に多くなることをも意味する。
GSp4の場合に用いた手法は重さ0リフトの存在定理、Base change リフト、Jacquet-Langlands 対応によるコンパクト形式上の保型形式への移送、ハリスのテンサー積トリック等である。これらを組み合わせることで、保型性持ち上げ定理が改良される。さて、これまでの流れで大事な部分は重さ0リフトの存在である。GL2の場合は対応する志村多様体が１次元なので状況は非常に簡単であるが、高次元の場合は問題が格段に難しくなる。しかし、最近はScholze によりGLnの場合に行った群コホモロジーのHecke eigen class の解析が進み、Caraiani-Gulotta-Johansson の中間次数以外の群コホモロジーの消滅定理と合わせて重さ０リフトの構成が可能となった。この部分が申請者の研究計画を促進させる一つの理由となっている。
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| 今後の研究の推進方策 |
今後の研究方針はGSp4で培った手法を,ユニタリ群GU(p,q)またはGSp_2nの場合に拡張することである。ユニタリ群, GSp_2nの場合に現在でも未解決な部分は法p保型形式の重さ０リフトの存在であるが、ここは素数pに制限を設けてCaraini-Gulotta-Johansson の消滅定理を適用してそれを示す。これが証明できれば次はレベル上げの操作を用いて保型形式をJacquet-Langlands 対応でtransfer できる状況に持っていき, コンパクト内部形式上の代数的保型形式への対応を構成する。次に代数的保型形式の法p還元を用いて局所成分を超尖点的表現に入れ替えさらにbase change 議論を適用して、潜在的に通常となるようなp進代数的保型表現でそのガロア表現の法p還元がもとのガロア表現と潜在的に同値であるものを作る。これが示されれば、法pガロア表現の潜在的対角化可能な保型的持ち上げの存在が保障され保型的な法pガロア表現のセール予想の解決に向けた上で重要な、持ち上げ定理の存在が証明されると期待する。特に重さ0リフトの構成からこの表現の局所成分の変形環はKisinのpotentially-Barsotti-Tate 表現の変形環の解析を上手く組み合わせて使うことができると期待され, このことが保障されれば、現在利用可能な保型性持ち上げ定理が適用できる。
今後の研究方策はこれらの方針が実際に上手く機能するかどうかの詳細を確認することである。示すべきことは多岐に渡り、中でも大事なのは、Jacquet-Langlands対応を適用できる設定に持っていく部分とそこから行うべき局所成分の還元に依る操作を通した取り換えである。ここにはparahoric 還元の手法を適用する。このほかにもGU(1,2), GL_3,GL_4なども具体的なテストケースとして詳細に調べる。
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