| 研究課題/領域番号 |
19H01783
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| 研究機関 | 慶應義塾大学 |
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研究代表者 |
栗原 将人 慶應義塾大学, 理工学部(矢上), 教授 (40211221)
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| 研究分担者 |
池田 保 京都大学, 理学研究科, 教授 (20211716)
藤井 俊 島根大学, 学術研究院教育学系, 准教授 (20386618)
塩川 宇賢 慶應義塾大学, 理工学部(矢上), 名誉教授 (00015835)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| キーワード | イデアル類群 / Fittingイデアル / zeta元 / Mazur Tate予想 |
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| 研究実績の概要 |
代数体のGalois拡大 L/K に対して、拡大体 L のイデアル類群のGalois加群としての構造についての研究を行った。L/Kと乗法群G_mについての同変玉河数予想は、イデアル類群の情報を持つ、ある種のコホモロジー群のGalois加群としての構造が、ゼータ関数の値と結びついていることを述べている。しかしながら、そのときに関係するイデアル類群とは、L/Kで分岐する素点の類で割った商であり、イデアル類群全体の情報を与えることができない。そこで、イデアル類群そのものを扱うために、Ritter Weissの理論までさかのぼって、いわゆるTate系列と呼ばれる加群の完全系列を作り、分岐素点もこめたイデアル類群全体のGalois加群構造を研究した。L/KがCM拡大のとき、適切な素点の集合Tに対するT射類群についてのTate完全系列の線型双対を考えることにより、T射類群のPontryagin双対のGalois加群としてのFittingイデアルについての予想を作ることに成功した。また、その予想を同変玉河数予想から導くことに成功した。普通のイデアル類群のPontryagin双対は、T射類群のPontryagin双対の商になるので、普通のイデアル類群のPontryagin双対のFittingイデアルについてもその情報が得られることになる。
King’s College LondonのD. Burns教授と大阪市大の佐野昂迪准教授と共に、楕円曲線のガロアコホモロジーの中のゼータ元についての共同研究を引き続き行った。Perrin-Riouによる予想の一般化とMazur Tate予想との関係をつけ、ある条件の下にMazur Tate予想を証明した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
イデアル類群の研究に関しては、分岐素点も込めたイデアル類群全体を扱うことができるようになり、今後のさまざまな研究に使えるようになった。
Mazur Tateの予想については、当初の強い条件をはずすことができた。
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| 今後の研究の推進方策 |
この研究後に、既に多くの結果ができている。熱田・片岡はイデアル類群のPontryagin双対ではなく、イデアル類群自体のFittingイデアルを(同変玉河数予想の仮定の下に)計算することに成功した。DaspuptaとKakdeはBrumer-Stark予想を証明し、Fittingイデアルについての予想も解決したが、そのときにもRitter Weissの理論などは使われている。この方面については、p=2の場合を含め、まだ多くの研究すべき課題がある。CM拡大でない場合も研究したい。
zeta元についても、上記の研究は、研究の始まりであって、さらなる問題が存在している。
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