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2022 年度 実績報告書

複素多様体上の混合ホッジ構造の変動全体に関する幾何学理論

研究課題

研究課題/領域番号 19H01787
研究機関大阪大学

研究代表者

糟谷 久矢  大阪大学, 大学院理学研究科, 准教授 (80712611)

研究分担者 後藤 竜司  大阪大学, 大学院理学研究科, 教授 (30252571)
藤野 修  京都大学, 理学研究科, 教授 (60324711)
研究期間 (年度) 2019-04-01 – 2024-03-31
キーワード佐々木多様体 / ホッジ構造の変動
研究実績の概要

コンパクトケーラー多様体では純粋なホッジ構造の変動全体に値を取るようなDe Rham-Dolbeault Double Complexにテンソル構造から定まるDifferential Graded Algebraの構造を考え、そのSullivan Minimal ModelのMorganの混合ホッジ構造を用いて構築した非可換混合ホッジ構造を取り出すことができるということが本研究における最重要事実であるが、これをより広いクラスの空間で行えるようになることを目的に本年度では、コンパクトケーラー多様体の自然なアナロジーでありコンパクトケーラー多様体から拡張された様々なクラスと関連するコンパクト佐々木多様体について研究を行った。Indranil Biswas氏と糟谷で共同で行ったコンパクト佐々木多様体上の調和束とHiggs束の理論を用いて, 局所系のテンソル構造から定まるDifferential Graded Algebraの構造において特に重要なFormalityという性質について調べた。一般には佐々木多様体においては半単純局所系に値を取るDe Rham ComplexではFormalityが成立しないが、本研究ではAlmost-FormalityというFormalityにより近い性質を満たすことが示された。これにより5次元以上の佐々木多様体では基本群に関わるテンソル構造から定まるDifferential Graded Algebraの構造(低次の構造)についてはコンパクトケーラー多様体と同様に取り扱えることが見出された。
また、佐々木多様体上で純粋なホッジ構造の変動について理論の構築を行った。コンパクトケーラー多様体において重要であったuniformization型定理の佐々木版を確立することができた。

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

3: やや遅れている

理由

特異性のある状況について未だ見通しの良い研究方策を打ち出せていないため。

今後の研究の推進方策

今後は多様体上で、ある種の特異性を持った混合ホッジ構造の変動全体の研究を行う。まず特異性のない場合と同様に対応する非可換混合ホッジ構造を取り出すことを目指す。特異性を持った純粋なホッジ構造の変動全体に関して、多様体の特異点を抜いた空間(Open Variery)あるいは特異点の情報を加味したカテゴリー(特にorbifold)上De Rham-Dolbeault Double Complexとして定義されるDifferential Graded Algebraの構造を考えて、そのSullivan Minimal ModelのMorganの混合ホッジ構造を構成する。ここから定まる代数的な混合ホッジ構造の変動モデルからある種の特異性を持った幾何学的な混合ホッジ構造の変動を構成する手法を構築する。

  • 研究成果

    (9件)

すべて 2023 その他

すべて 国際共同研究 (3件) 雑誌論文 (3件) (うち査読あり 3件) 学会発表 (2件) (うち国際学会 2件、 招待講演 2件) 学会・シンポジウム開催 (1件)

  • [国際共同研究] Toulouse University(フランス)

    • 国名
      フランス
    • 外国機関名
      Toulouse University
  • [国際共同研究] LMU Munchen(ドイツ)

    • 国名
      ドイツ
    • 外国機関名
      LMU Munchen
  • [国際共同研究] Cagliari University(イタリア)

    • 国名
      イタリア
    • 外国機関名
      Cagliari University
  • [雑誌論文] Cohomology of holomorphic line bundles and Hodge symmetry on Oeljeklaus--Toma manifolds2023

    • 著者名/発表者名
      Kasuya Hisashi
    • 雑誌名

      European Journal of Mathematics

      巻: 9 ページ: -

    • DOI

      10.1007/s40879-023-00646-9

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Uniformizations of Compact Sasakian Manifolds2023

    • 著者名/発表者名
      Kasuya Hisashi、Miyatake Natsuo
    • 雑誌名

      International Mathematics Research Notices

      巻: - ページ: -

    • DOI

      10.1093/imrn/rnad227

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Higgs bundles and flat connections over compact Sasakian manifolds, II: quasi-regular bundles2023

    • 著者名/発表者名
      Biswas Indranil、Kasuya Hisashi
    • 雑誌名

      ANNALI SCUOLA NORMALE SUPERIORE - CLASSE DI SCIENZE

      巻: - ページ: -

    • DOI

      10.2422/2036-2145.202203_024

    • 査読あり
  • [学会発表] Higgs bundles and uniformizations of compact Sasakian manifolds.2023

    • 著者名/発表者名
      糟谷久矢
    • 学会等名
      The 7th Workshop "Complex Geometry and Lie Groups"
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Sasakian Geometry and Lie groups2023

    • 著者名/発表者名
      糟谷久矢
    • 学会等名
      The 12th GTSS GEOMETRY-TOPOLOGY SUMMER SCHOOL
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会・シンポジウム開催] Workshop on Complex Geometry in Osaka 20242023

URL: 

公開日: 2024-12-25  

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