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2020 年度 実績報告書

グラフィクスとカンドル理論の観点からの4次元トポロジーの研究

研究課題

研究課題/領域番号 19H01788
研究機関大阪大学

研究代表者

鎌田 聖一  大阪大学, 理学研究科, 教授 (60254380)

研究分担者 河内 明夫  大阪市立大学, 大学院理学研究科, 特任教授 (00112524)
金信 泰造  大阪市立大学, 大学院理学研究科, 教授 (00152819)
遠藤 久顕  東京工業大学, 理学院, 教授 (20323777)
早野 健太  慶應義塾大学, 理工学部(矢上), 准教授 (20722606)
大槻 知忠  京都大学, 数理解析研究所, 教授 (50223871)
安井 弘一  大阪大学, 情報科学研究科, 准教授 (70547009)
佐藤 進  神戸大学, 理学研究科, 教授 (90345009)
大城 佳奈子  上智大学, 理工学部, 准教授 (90609091)
研究期間 (年度) 2019-04-01 – 2024-03-31
キーワードトポロジー / 曲面結び目 / ブレイド / グラフィクス / カンドル / 4次元トポロジー
研究実績の概要

前年度に引き続いて代数的な構造をダイアグラム(図式)を用いて表す方法の研究を行なった。フロベニウス代数の公理を図式化することで、その高次化となる高位の圏を構成する際に自然と思われる多重射を低い次元について構成した。そこでは、平面上の3価グラフとその基本変形が現れること、および、高さ関数を伴った3次元空間内の分岐曲面の基本的な変形が実現されることなどが確認できた。
4次元ユークリッド空間内に埋め込まれた曲面(曲面絡み目)は、曲面が向き付け可能である時、曲面ブレイドの閉包の形に変形できることが研究代表者によって示されていたが、向き付け不可能な曲面には適用できなかった。曲面ブレイドを用いて曲面絡み目を表す方法として、代表者の研究室の院生(安田順平)によってplat表示という新しい方法が研究されている。この表示方法は向き付け不可能な曲面でも曲面ブレイドを用いて表すことができるという利点がある。しかし、plat表示に変形する議論には当初トライセクションの基礎となる強力な補題が使われていた。議論の見直しを行って、この補題を用いない、より直接的で簡単な証明が得られた。
2020年5月13日-15日に京都大学数理解析研究所で研究集会「Intelligence of Low-dimensional Topology」をオンラインで開催した。世話人は大槻知忠(分担者)と秋吉宏尚で、11件の講演と約110名の参加者あった。2020年11月20日-22日に大阪大学で研究集会「4次元トポロジー」をオンラインで開催した。世話人は鎌田(代表者)、安井弘一(分担者)、松本堯生で、9件の講演と83名の参加者があった。2020年12月17日-18日に大阪市立大学で研究集会「カンドルと対称空間」をオンラインで開催した。世話人に鎌田、大城佳奈子(分担者)が含まれ、7件の講演が行われ53名の参加者があった。

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

前年度より作成を開始していた球面上のdoodleと交換子関係式に関する論文を完成することができ、インターネット上(arXiv)で公開し、学術雑誌に投稿した。
フロベニウス代数の公理の図式化を利用してある高次の圏を構成し、その中に平面上の3価グラフとその基本変形や高さ関数を伴った3次元空間内の分岐曲面の基本変形が実現されることなどが確認できたことは、代数的構造の図式を用いた解釈が有効であることを示すものである。
4次元空間内の与えられた曲面絡み目のplat表示を構成する際に、トライセクションで使われた補題を用いないで plat 表示に変形できたことは、plat表示がある意味でトライセクションに従属した概念でないことを示唆する。

今後の研究の推進方策

Doodle図式に関しては、球面で行ったdoodle図式と初等交換子関係式の関係を種数の高い閉曲面に一般化する試みを継続する。
高次の圏と低次元トポロジーに現れる幾何的対象との関係についてさらに考察を行う。フロベニウス代数の公理をモデルにした高次の圏では、次数の低い多重射を構成し分岐曲面などとの関係を調べたが、その次の次元についてはまだわかっていない。この方面も調査したい。
カンドルを用いた結び目・曲面結び目の研究では、アレクサンダー対を伴うカンドルを用いた不変量の具体例とその有効性がわかり始めた段階であり、これに関する研究も進める必要がある。

  • 研究成果

    (20件)

すべて 2021 2020

すべて 雑誌論文 (7件) (うち国際共著 1件、 査読あり 7件、 オープンアクセス 4件) 学会発表 (13件) (うち国際学会 8件、 招待講演 8件)

  • [雑誌論文] Virtual links which are equivalent as twisted links2020

    • 著者名/発表者名
      Kamada Naoko、Kamada Seiichi
    • 雑誌名

      Proceedings of the American Mathematical Society

      巻: 148 ページ: 2273~2285

    • DOI

      10.1090/proc/14899

    • 査読あり / オープンアクセス
  • [雑誌論文] Knotting probability of an arc diagram2020

    • 著者名/発表者名
      Kawauchi Akio
    • 雑誌名

      Journal of Knot Theory and Its Ramifications

      巻: 29 ページ: 2042004~2042004

    • DOI

      10.1142/S0218216520420043

    • 査読あり / オープンアクセス
  • [雑誌論文] Presentation of a ribbon 2-knot2020

    • 著者名/発表者名
      Kanenobu Taizo、Matsuda Masafumi
    • 雑誌名

      Journal of Knot Theory and Its Ramifications

      巻: 29 ページ: 2050048~2050048

    • DOI

      10.1142/S0218216520500480

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Suciu’s ribbon 2-knots with isomorphic group2020

    • 著者名/発表者名
      Kanenobu Taizo、Sumi Toshio
    • 雑誌名

      Journal of Knot Theory and Its Ramifications

      巻: 29 ページ: 2050053~2050053

    • DOI

      10.1142/S0218216520500534

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Twisted Alexander polynomial of a ribbon 2-knot of 1-fusion2020

    • 著者名/発表者名
      Taizo Kanenobu, Toshio Sumi
    • 雑誌名

      Osaka Journal of Mathematics

      巻: 57 ページ: 789~803

    • 査読あり
  • [雑誌論文] On the generalization of Inoue manifolds2020

    • 著者名/発表者名
      Pajitnov Andrei、Hisaaki Endo
    • 雑誌名

      Proceedings of the International Geometry Center

      巻: 13 ページ: 24~39

    • DOI

      10.15673/tmgc.v13i4.1748

    • 査読あり / オープンアクセス / 国際共著
  • [雑誌論文] Writhe polynomials and shell moves for virtual knots and links2020

    • 著者名/発表者名
      Nakamura Takuji、Nakanishi Yasutaka、Satoh Shin
    • 雑誌名

      European Journal of Combinatorics

      巻: 84 ページ: 103033~103033

    • DOI

      10.1016/j.ejc.2019.103033

    • 査読あり / オープンアクセス
  • [学会発表] The intersection polynomials of a virtual knot2021

    • 著者名/発表者名
      S. Satoh
    • 学会等名
      The 16th East Asian Conference on Geometric Topology
    • 国際学会
  • [学会発表] 仮想結び目の交差多項式2021

    • 著者名/発表者名
      佐藤進
    • 学会等名
      日本数学会2021年度年会
  • [学会発表] Braids, I2020

    • 著者名/発表者名
      Seiichi Kamada
    • 学会等名
      Knots through web, ICTS
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Braids, II2020

    • 著者名/発表者名
      Seiichi Kamada
    • 学会等名
      Knots through web, ICTS
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] On knotted surfaces as vanishing sets of polynomials2020

    • 著者名/発表者名
      鎌田聖一, B. Bode
    • 学会等名
      日本数学会秋季総合分科会
  • [学会発表] On doodles and commutator identities2020

    • 著者名/発表者名
      鎌田聖一, A. Birtholomew, R. Fenn, N. Kamada
    • 学会等名
      日本数学会秋季総合分科会
  • [学会発表] On chart descriptions of branched coverings, surface foldings and braided surface2020

    • 著者名/発表者名
      Seiichi Kamada
    • 学会等名
      The First Korean-Russian Conference on Knot theory and Related Topics
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Classification of small ribbon 2-knots2020

    • 著者名/発表者名
      金信 泰造
    • 学会等名
      Intelligence of Low-dimensional Topology
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] 同型な結び目群をもつ Suciu の2次元リボン結び目の分類2020

    • 著者名/発表者名
      金信 泰造
    • 学会等名
      拡大 KOOK セミナー 2020
    • 招待講演
  • [学会発表] Minimal genus functions and constraints on 4-manifolds2020

    • 著者名/発表者名
      Kouichi Yasui
    • 学会等名
      International Workshop on 4-Manifold Theory and Gauge Theory
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Embedded surfaces and the simple type conjecture2020

    • 著者名/発表者名
      安井弘一
    • 学会等名
      研究集会「4次元トポロジー」
  • [学会発表] Goeritz matrices and Dehn colorings of spatial graphs2020

    • 著者名/発表者名
      Kanako Oshiro
    • 学会等名
      The first Korean-Russian Conference on Knot Theory and Related Topics
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Stability of non-proper functions2020

    • 著者名/発表者名
      Kenta Hayano
    • 学会等名
      16th International Workshop on Real and Complex Singularities
    • 国際学会 / 招待講演

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公開日: 2021-12-27  

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