| 研究課題/領域番号 |
19H01789
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| 研究機関 | 東北大学 |
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研究代表者 |
尾畑 伸明 東北大学, 情報科学研究科, 教授 (10169360)
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| 研究分担者 |
洞 彰人 北海道大学, 理学研究院, 教授 (10212200)
田中 太初 東北大学, 情報科学研究科, 准教授 (50466546)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| キーワード | 量子確率論 / スペクトル解析 / 漸近的組合せ論 / 代数的組合せ論 / 直交多項式 / ネットワーク数理 / グラフスペクトル / 量子ホワイトノイズ |
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| 研究実績の概要 |
統計性の源泉を非可換代数とその表現に求める手法として、量子分解は量子確率論の基本的な概念であり、量子確率解析やスペクトルグフ理論などと関連して発展してきた。本研究では、グラフのスペクトル解析を通して量子分解法を拡張することを目標として、次の4課題を扱っている。
（1）成長するグラフの同時スペクトル分布と付随する多変数直交多項式の決定：強正則グラフの直積に対して隣接行列と補グラフの隣接行列の2変量の分布（同時スペクトル分布）と付随する2変数直交多項式の詳細構造を導出した（前年度の成果）をもとに、一般化の方向性を様々に検討した。
（2）アソシエーションスキームに付随した量子分解法の多変数化：強正則グラフの議論は、距離正則グラフ、あるいはより一般のアソシエーションスキーム上で展開するのがより自然であり、代数的組合せ論の立場から準備研究を継続中である。関連して、グラフのスペクトル解析という観点から導入したグラフのQE定数について多くの具体的な計算を蓄積した。特に、パスから得られるQE定数に基づいてグラフを分類する試みを開始して、最初の結果を国際共著論文として発表した。
（3）多変数直交多項式を特徴づける量子成分の非可換構造の抽出：古典パラメータをもつ距離正則グラフに対して、スケール極限におけるスペクトル分布を導出し、国際共著論文として発表した。これはハミンググラフなどの従来知られている結果を包括する一般的結果である。この議論を量子分解の観点から見直しながら多変数化のための検討を始めた。さらに、拡張されたヤコビ行列に対して定義した退化指数とスペクトル測度の台との関連について研究を継続している。
(4）量子ホワイトノイズ解析の集大成：文献調査及びこれまでの研究成果の総括を進めた。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
2021年度も2020年度に続いて、新型コロナウイルス感染症の感染拡大防止のため、年度当初から年度末に至るまで国民に対する多くの行動制限がかかり、大学の管理運営およびオンライン教育に係る業務が増大したために十分な研究時間の確保が困難であった。さらに、本研究で重要なパートを占める国際共同研究では、海外機関の感染症対策の状況も相まって、海外渡航・招聘に係る行動制限が大きく、ようやく2022年3月になって海外渡航（アメリカ）が実現した。このような状況の下、2021年度は2020年度からの繰越分を実施するにとどまり、2022年度計画分は2023年度に繰越して実施することとなった。
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| 今後の研究の推進方策 |
グラフのスペクトル解析における量子確率論の視点を広げるために、グラフに付随する様々な行列を用いたスペクトル解析を検討する。特に、距離行列から定義されるグラフのQE定数について新展開が見込まれるため、基本的性質の探求と具体例の収集に注力する。さらに、QEグラフ, 非QEグラフともに基本的な系列を構成して分類論を進める。QE定数は研究代表者が導入したもので、その役割についてはまだ不確定であるが、グラフ構造を反映する新しい不変量として期待している。これを受けて、目的に掲げた4項目については以下の通りとする。
（1）成長するグラフに付随する複数の行列から得られる同時スペクトル分布の諸性質とその極限分布を導出し、対応する多変数直交多項式を決定する。強正則グラフや距離正則グラフに対する一般論の構築を目指す。
（2）上記の距離正則グラフの議論は、アソシエーションスキーム上で展開するのがより自然であるという見通しの下、代数的組合せ論からの準備研究を継続する。
（3）量子分解の多変数化を直交多項式の視点から整理する。多変数の場合は、直交多項式の代数的構造をスペクトル分布にいかに関連付けるかが困難な問題になる。適切に定義された量子成分の満たす交換関係によって、確率分布の特徴づける試論を検討する。
（4）量子ホワイトノイズ解析の集大成として、高次ホワイトノイズによって定義される作用素、作用素のユニタリ性の判定条件、正規積への変換と繰込みなどについてこれまでの成果を総括し課題を整理する。
2022年度の計画分を2023年度に繰越したが、新型コロナウィルス感染拡大に対する各種規制が緩和される見通しである。それを受けて、停止状態にあった国際共同研究計画を立て直して、渡航・招聘による研究活動を再開して本研究全体の総括を行う。
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