| 研究課題/領域番号 |
19H01790
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| 研究機関 | 京都大学 |
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研究代表者 |
角 大輝 京都大学, 人間・環境学研究科, 教授 (40313324)
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| 研究分担者 |
中西 敏浩 島根大学, 学術研究院理工学系, 教授 (00172354)
佐藤 譲 北海道大学, 電子科学研究所, 准教授 (30342794)
上原 崇人 岡山大学, 自然科学学域, 准教授 (40613261)
諸澤 俊介 高知大学, 教育研究部自然科学系理工学部門, 教授 (50220108)
イェーリッシュ ヨハネス 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 准教授 (90741869)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| キーワード | 力学系 / ランダム力学系 / ランダム複素力学系 / フラクタル / ランダム性誘起現象 / ジュリア集合 / ランダム緩和ニュートン法 |
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| 研究実績の概要 |
角は高次元ランダム複素力学系の研究を行い、一つの正則写像の反復合成による力学系では起こりえない多くの新しい現象を考察した。特に複素２次元の一般化エノン写像のランダム力学系のほとんどのものは、「平均安定性」という著しい秩序性を持つことを示した。ここで、エノン写像は複素二次元射影空間全体へは正則に拡張されないで、不定点を持つなど、複素高次元特有の難しさが現れるのだが、それをうまく乗り越える技術を開発することに成功した。また、ノイズの確率測度の台が内点を持つなどの条件下で平均安定とは限らないランダム複素力学系について、リアプノフ指数が負であることなど、少し弱い安定性を持つことなどを示した。さらに、非有界多項式列のジュリア集合の非一様完全性などの、通常の一つの多項式の反復では起こりえない新しい現象を詳しく研究して複数の結果を得た。これらの結果について複数の研究集会で発表するなどした。
上原は有理曲面を用いたK3曲面を力学系的構成について調べて、 その性質のいくつかを明らかにした。
中西は写像類群のタイヒミュラー空間への作用の有理変換表現と曲面群の3次元双曲等長変換群への行列表現を用いて境界群と呼ばれるクライン群のいくつかの具体例を構成した。その結果，残留極限点をもつクライン群など特徴的性質をもつクライン群を見つけることができた。
諸澤は有理関数の半群の力学系とinner composite functions の力学系の研究を行った。イエーリッシュは有限生成フックス群に付随するBowen-Series写像の熱力学的形式と大偏差原理などについて研究を行った。
また佐藤はランダム力学系と確率微分方程式で生じる確率カオスと関連する確率的非線形現象に関する研究と計算支援ライブラリの開発を行った。サマースクール「計算エルゴード理論の基礎」を北海道大学で開催した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
対面での研究集会の数が増え、新型コロナ渦以前の状況に戻った。研究集会への参加を通じて、情報を入手し交換することが可能になった。それに合わせて研究代表者と研究分担者の研究交流が着実に進んでいる。新しい研究成果を発表することができるようになってきているし、それをまとめて論文を執筆にとりかかることもできている。
具体的には、角によって、複素２次元エノン写像のランダム力学系のほとんどで平均安定性が成立する結果や、複素２次元での平均安定性の理論の結果が多く得られ、それらをオンライン国際集会や対面国内集会で招待講演として発表することもできている。イエーリッシュ氏、渡邉氏らとのマルコフ的複素力学系の研究に着手して議論を少しずつ行っており、M. Comerford氏とは非自励系多項式力学系についての議論を行えたし、ノルウェーのTrung Tuyen Truong氏とランダム緩和ニュートン法についての意見交換も行えている。また、佐藤氏と角がランダム力学系の対面による研究集会を開催して国内外の研究者を多く招聘することもできており、そこで自らの情報を発信しつつ、他者の研究結果等の情報をよくつかめるようになってきている。そのランダム力学系研究集会では最新の研究情報を得ることもできて、活発な議論を行うことができた。
そして研究成果を論文にまとめたものを出版することもできている。
以上のことからおおむね順調に進展していると判断する。
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| 今後の研究の推進方策 |
コロナ渦は収まったので、国内外の研究集会に出かけ、自らが国内で研究集会を開催して、研究代表者・研究分担者の相互の対面での行き来を増やし、それぞれの研究に関わる共同研究者との打ち合わせを増やして、研究全体の深化を図る。
具体的には、角が行っているランダム複素力学系に関して、複素２次元の複素エノン写像や多項式写像のランダム力学系理論についてこれまで得られた結果を国内外の研究集会で発表して反応を探り研究を深化させる。また非自励系多項式力学系における新現象の研究については、アメリカのM.Comerfordと連絡を取りながら、国内外の研究集会で対面で会ったり、アイデアを発展させて、新しい現象をさらに発見して考察を深めていく。また、２次元のランダム緩和ニュートン法については、一橋大の川平友規氏や、ノルウェーのTrung Tuyen Truong氏をはじめとする国内外の研究者と対面研究集会で会って議論を重ねていく。角とイエーリッシュ氏（名古屋大）、渡邉氏（中部大）らによる双曲的マルコフ的複素力学系の基本的性質とジュリア集合のハウスドルフ次元とハウスドルフ測度の研究については、互いに行き来を行いながらシステムに付随するPeron-Frobenius作用素の解析等の理論を発展させていく。
さらに、上原氏（岡山大）とも連絡を取って、高次元の複素多様体上の正則自己同型写像によるランダム力学系的理論を構築していく。この理論構築を、リーマン面の写像類群の作用の研究にも関係させていく。そして、佐藤氏（北大）とはランダム力学系理論の研究集会の共催などを通じて、互いに連絡を頻繁に取って、互いの大学を行き来しあいながら、ランダム力学系理論の理論と応用の連携についての研究を深めていく。
また以上のことについて、すでに得られている成果を論文にしていく。
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