| 研究課題/領域番号 |
19H01792
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| 研究機関 | 京都大学 |
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研究代表者 |
辻本 諭 京都大学, 情報学研究科, 准教授 (60287977)
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| 研究分担者 |
佐々田 槙子 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (00609042)
加藤 毅 京都大学, 理学研究科, 教授 (20273427)
Croydon David 京都大学, 数理解析研究所, 准教授 (50824182)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| キーワード | 離散可積分系 / 確率論 / Pitman変換 / 箱玉系 |
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| 研究実績の概要 |
2021年度は、箱玉系をはじめとする離散可積分系の無限系の不変測度の存在や性質について, Pitman変換を用いたさらなる一般化の解析を進めた。箱玉系だけでなく離散KdV方程式、超離散戸田格子、離散戸田格子の４つのモデルを含む普遍的な枠組みである局所決定力学系を導入することで、今後より広いクラスのモデルに適用可能な理論へと昇華することができた。特に、局所的な時間発展法則を定める二変数の全単射が、独立性保存則、あるいは詳細釣り合い条件、と呼ばれる性質を持つことが、局所決定力学系が独立同分布の不変測度を持つための必要十分条件であることを明らかにした。独立性保存則は、古くはKacらにより、独立性を用いて正規分布を特徴づける一つの方法として導入された。その後、ガンマ分布やベータ分布、指数分布などの重要な分布を特徴づける全単射が発見されるなど、確率論において長く研究されているトピックである。また、2階のq-差分作用素の有理関数への作用を考えることで有理型Heun作用素を導入し，Wilsonによって導入されたq-双直交有理関数との関係を明らかにした。Wilson q-双直交有理関数は、古典直交多項式の頂点に位置する Askey-Wilson 多項式の一般化とみなすことができ，Askey-Wilson多項式をはじめとする古典直交多項式に類似した性質を持つことが知られており、戸田格子の拡張系であるR2格子の特殊解をなす古典双直交有理関数の基礎理論を与えることに成功した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
順調である。離散可積分系の無限系の不変測度の問題を、当初より研究を進めてきたPitman変換の一般化という枠組みに加えて、局所決定力学系という格子上の局所的に定まる時間発展という枠組みの二つの形で定式化することに成功したことで、確率論的な観点からの解析をさらに幅広く進めることができた。特に、独立性保存則という確率論において古典的な話題が、離散可積分系の不変測度の性質という全く新たな文脈で再び現れたことは大変興味深いと考えている。このつながりを見出したことにより、確率論の既存の結果を離散可積分系の解析に使うことや、逆に離散可積分系の知見をこの確率論の古典的な問題の拡張につなげるなど、新しい研究の方向性が見出されたことも、大きな進捗であった。実際に、離散KdV方程式の不変測度を探すという文脈から、一般化逆ガウス分布の持つ独立性保存則を新たに発見することができた。離散戸田格子の拡張とみなせるR2格子に対して，その特殊関数解を与えるWilson双直交有理関数について新しい観点からの解析が進められた。これにより，R2格子から得られる拡張箱玉系との関係など今後のさらなる研究の進展が期待できる。
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| 今後の研究の推進方策 |
今後は、一般化されたPitman変換の持つ不変測度を普遍的な形で特徴づけること、および、局所決定力学系の可積分性とその局所時間発展を与える全単射の独立性保存則との関連について研究を進めること、の二つを目指して進めていく。前者についてはすでに離散KdV方程式、超離散戸田格子、離散戸田格子の４つのモデルを含む定式化のアイディアは得られており、より抽象的な枠組みとしてどの程度の一般化をするかが今後の課題である。より広い離散可積分系を内包する定式化となるよう、離散可積分系の専門家と確率論の専門家が議論を深めていくことで、研究を推進したい。後者については、まだ知見がほとんどない段階であり、独立性保存則に関する既存の研究の理解を深め可積分性との関係から再考することから始める計画である。超離散戸田格子で記述される箱玉系に対して，その拡張モデルの導出がR2格子を通じて可能であり，付随する解やその収束性などの議論からすすめていく予定である。
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