| 研究課題/領域番号 |
19H01795
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| 研究機関 | 北海道大学 |
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研究代表者 |
久保 英夫 北海道大学, 理学研究院, 教授 (50283346)
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| 研究分担者 |
加藤 正和 室蘭工業大学, 大学院工学研究科, 講師 (30526679)
Yordanov Borislav 北海道大学, 高等教育推進機構, 助教 (50839199) [辞退]
津田谷 公利 弘前大学, 理工学研究科, 教授 (60250411)
若狭 恭平 釧路工業高等専門学校, 創造工学科, 講師 (60783404)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| キーワード | 双曲型方程式 / 非線型摂動 / 弱零条件 / 大域挙動 / 漸近解析 |
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| 研究実績の概要 |
本研究の目的は、アインシュタイン方程式をプロトタイプとする強双曲方程式系に対する非線型摂動について、その安定性を弱零条件として特徴付けることである。アインシュタイン方程式の共変性に由来するゲージに関する自由度を利用して、時間的座標軸が常に時間的であるような座標系を採用するとアインシュタイン方程式は時間発展する方程式として表現することができる。実際、この座標系においてローレンツ計量を3+1分解すると、空間的超曲面の外的曲率に関する時間発展方程式系が、時間発展を伴わない拘束条件と共に導かれる。更に、拘束条件を上手く利用することにより、その発展方程式系は強双曲系となり、それはBSSN形式と呼ばれている。前年度までに、このアインシュタイン方程式のBSSN形式の初期値問題の解析に取り組み、空間遠方で与える境界条件としては最大消散条件が妥当であることを認識した。今年度は、この初期値問題の函数解析的な取扱いについて考察した。まず、BSSN形式における拘束条件を満たすような初期データを選ぶために初期データのクラスについての検討を行った。より具体的には、空間的計量と外的曲率に関する12個の変数から４つの拘束条件を満たすための４個の変数を特定する必要がある。数値相対論の分野では、等角写像とトレースが零である対称テンソルの分解を用いて、拘束条件を４本の楕円型方程式に帰着する手法について詳しく調べられてる。例えば、初期時刻に外的曲率が全て零のとき、等角写像の無限遠方での挙動を定数1に指定すると、シュバルツシルド計量が得られる。次に、こうして得られた拘束条件を満たす初期値が空間遠方で最大消散条件を満たすか否かを調べた。その際、問題となるのは拘束条件を満たす変数は時間発展する変数の空間微分に依存するため、時間発展する変数の最大消散条件と直接関係しない点である。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
これまで、数値相対論の分野で標準的に用いられているアインシュタイン方程式の3+1形式に着目して研究を進めてきた。具体的には、BSSN形式と呼ばれるハミルトン拘束条件、運動量拘束条件および時間発展する空間的超曲面の外的曲率に関する双曲方程式系からなる微分方程式を扱ってきた。この中の双曲方程式系を初期値問題として解析するには、最大消散条件と呼ばれる境界条件を設定し、4つの拘束条件を満たすような初期データを用意する必要がある。ハミルトン拘束条件は等角写像を導入することにより、単独の楕円型方程式を解く問題に帰着される。また、トレースが零である対称テンソルの分解を用いて運動量拘束条件を扱うことができる。よって、４つの拘束条件を満たす初期データのクラスを確立できることがわかった。しかし、これらの初期データは更に空間遠方の境界条件である最大消散条件と整合的でなければならない。ところが、上述したような手順によって得られる初期データは、必然的に時間発展する変数の空間微分に依存してしまう。一方で、時間発展する変数に課される最大消散条件は変数自身に対するものであるため、これらをどの様に関係づけるのかが問題となる。基本となるアイディアは、アインシュタイン方程式が双曲型の方程式であることから、低階項の影響を無視すると、時間発展する変数については境界における空間法線微分と時間微分が同等である点に着目することである。これにより、時間発展する変数自身に対する最大消散条件から空間法線微分に関する条件を時間依存しない関数によって表現できる。もしこの関数が空間変数にも依存しなければ最大消散条件が導かれたことになるが一般には不明である。更に、高階の整合条件も必要となることから、一般論の構築は難しい課題であることが明らかになった。
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| 今後の研究の推進方策 |
これまでの研究により、アインシュタイン方程式のBSSN形式における発展方程式は強双曲系となること、及びその境界条件として消散的放射条件を採用するのが自然であることを認識できた。しかし、拘束条件を満たすように初期データを選んだとき、その初期データが消散的放射条件と整合的であるかを検証する必要がある。この整合性が成り立つかどうかは方程式系の低階項が強く影響しており、その検証には主要部の解析だけでは不十分である。そこで、低階項を伴う強双曲型方程式に対する非線型摂動を次の研究対象とする。より具体的には、低階項がその方程式の解の大域挙動に与える影響を解析する。低階項を無視して、主要部の固有値分解に附随する従属変数の置き換えにより、速く時間減衰する解の成分と相対的に遅く減衰する成分を見出すことができるが、低階項を考慮するとき、その分解が有効であるかは単純な問題ではない。まずは、低階項に特別な形、例えば主要部と同じオーダーのスケーリング則を持つこと仮定して解析を進めたい。一方、プロトタイプであるBSSN形式において、数値相対論の分野ではシュバルツシルド計量に対応する静的ブラックホールやそれらを重ね合わせた多重ブラックホールの時間発展について研究が行われている。そこで、そのような初期データを選んだとき、低階項との関係においてどのような仕組みによって境界条件が満足されるのかを検証し、初期データのクラスを制限する一般的な指針を見定めたい。そして、そのようにして確立される初期データのクラスにおいて、強双曲型方程式がアダマールの意味での適切となるような方程式に内在する構造をあぶりだす。更に、時間大域解が存在するために必要なる非線型項の代数的構造を導き、非線型摂動の問題に応用する。
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