| 研究課題/領域番号 |
19H01803
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| 研究機関 | 横浜国立大学 |
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研究代表者 |
根上 生也 横浜国立大学, 大学院環境情報研究院, 非常勤教員 (40164652)
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| 研究分担者 |
小関 健太 横浜国立大学, 大学院環境情報研究院, 准教授 (10649122)
中本 敦浩 横浜国立大学, 大学院環境情報研究院, 教授 (20314445)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2022-03-31
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| キーワード | 位相幾何学的グラフ理論 / 被覆グラフ / 平面被覆予想 / 群作用 / ボルテージ・グラフ |
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| 研究実績の概要 |
前年度の研究では「平面被覆予想」の解決に向けて、トポロジーとグラフ理論、群論を融合させた理論を展開した。今年度は、その理論をより応用力の高いものに仕上げるために、三者の関係を精密に分析し、「ボルテージによる被覆グラフ」の理論を構築した。
その被覆グラフとは、小さなグラフ（基底グラフ）から大きなグラフを生成する手法であり、トポロジーでいうところの被覆空間の概念を1次元図形であるグラフに制限したものである。代数的トポロジーの理論に従えば、基底グラフの基本群を利用することで、目的に合った被覆グラフの存在やその諸性質を解析することができる。一方、グラフ理論では、基底グラフの辺に「ボルテージ」と呼ばれる群の元や置換を割り当てた「ボルテージ・グラフ」を利用して被覆グラフを構成する。被覆グラフの議論をする際にはその連結性を仮定するのが一般的であるが、ボルテージ・グラフから構成される被覆グラフには非連結なものも含まれるため、代数的トポロジーの理論と混在した議論をする際には、細心の注意を払う必要がある。
そのことを踏まえ、位相幾何学的グラフ理論の研究者が使いやすい形の理論を構築した。特に、その理論の応用として、固定した被覆グラフを経由して基底グラフを被覆する群作用のある被覆グラフ（正則被覆）は必ず１つの正則被覆（標準正則被覆）を経由することを証明し、その標準正則被覆の提示方法を明らかにした。さらに、その応用として、可換群が作用する被覆グラフが経由する被覆グラフには必然的に可換群が作用することを証明した。これは、扱う被覆グラフに有限群の作用をあることを仮定して研究をしている研究者にとっては驚くべき事実である。
その他にも、位相幾何学的グラフ理論に関わる様々な成果を得ている。
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| 現在までの達成度 (段落) |
令和3年度が最終年度であるため、記入しない。
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| 今後の研究の推進方策 |
令和3年度が最終年度であるため、記入しない。
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