| 研究課題/領域番号 |
19H05597
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| 研究機関 | 東北大学 |
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研究代表者 |
小川 卓克 東北大学, 理学研究科, 教授 (20224107)
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| 研究分担者 |
高橋 太 大阪市立大学, 大学院理学研究科, 教授 (10374901)
岩渕 司 東北大学, 理学研究科, 准教授 (40634697)
猪奥 倫左 東北大学, 理学研究科, 准教授 (50624607)
川島 秀一 早稲田大学, 理工学術院, 教授(任期付) (70144631)
服部 裕司 東北大学, 流体科学研究所, 教授 (70261469)
前川 泰則 京都大学, 理学研究科, 教授 (70507954)
瀬片 純市 九州大学, 数理学研究院, 教授 (90432822)
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| 研究期間 (年度) |
2019-06-26 – 2024-03-31
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| キーワード | Anderson-Chaplain 方程式 / 臨界特異摂動 / 端点最大正則性 / 有界平均振動(BMO) / 非線型シュレディンガー方程式 / 初期値境界値問題 / 非線型境界値問題 |
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| 研究実績の概要 |
研究代表者の小川は医療数理に現れる走化性粘菌モデルを表す非線形放物型方程式系の特異極限を考察し, これらの共通の数理構造である非局所型放物型問題の初期値問題に対する特異極限を考察し, 特に癌の浸潤モデルであるAnderson-Chapliain モデルに対する特異極限をスケールリング臨界空間で実現し, 元々のモデルとの相関に非回帰的Banach空間の一つである, 有界平均振動のクラスでの熱方程式の最大正則性を証明し, 導入された時空空間が初期条件が有界平均振動でありながら最大正則性を保つ必要かつ十分な空間であることを示した.
また研究協力者の黒木場正城氏(室蘭工大・工・故人)と共同で, 数理モデルとしてとりわけ重要な空間2次元の走化性モデルにおいて, スケール臨界クラスである有界平均振動のクラスにおける非線形方程式の解に対して, 同様の特異極限を証明した. 証明には有界平均振動のクラスにおける最大正則性とともに, 非斉次Besov空間における最大正則性から得られる評価により証明される.
半空間における非線型シュレディンガー方程式の初期値境界値問題に対して, 非斉次Dirichlet 境界条件, および非斉次Neumann境界条件を課した上で, その会の可解性と小さいデータに対する時間大域解の存在と解の漸近挙動について, 林 仲夫氏とElena Kaikina氏と共同で研究した.
空間2次元での圧縮性Navier-Stokes 方程式の等エントロピー条件の下での, 時間局所適切性の限界空間をスケール不変な斉次Besov 空間において考察し, 方程式が適切とならずに初期条件との強い不連続性を発生させる初期条件を提示してすべての可積分指数での臨界空間での端点非適切性を示した..
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
ケラーシーゲル系の特異極限の結果は, その後, 医療数理に現れる走化性粘菌モデルを表す非線形放物型方程式系の特異極限に展開され, これらの共通の数理構造である非局所型放物型問題の初期値問題に対する特異極限を考察の後, 特に癌の浸潤モデルであるAnderson-Chapliain モデルに対する特異極限をスケールリング臨界空間で実現した. これは臨界空間における特異摂動に対する, 本研究の主要目的の成果としてあげられるものである. その際, 元々のモデルとの相関に非回帰的Banach空間の一つである, 有界平均振動のクラスでの熱方程式の最大正則性を導入し, 解のクラスである時空空間が初期条件が有界平均振動でありながら最大正則性を保つ必要かつ十分な空間であることを示した. この結果はそれ自身, 非回帰的空間における, 最大正則性として一般論からは得られない事実であり, 臨界空間の構造研究の一つとして, 顕著な成果としてあげられる.
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| 今後の研究の推進方策 |
2021年度の研究を踏まえ, その後の延長期間において, スケール不変空間における特異摂動問題の安定性(特異摂動極限が安定に得られるかどうか?)を探る研究を継続し, 延長期間において, Keller-Segel 方程式系に続いて, 医療数学に現れる, Anderson-Chaplain 方程式に対する特異摂動の成果や, より微妙な有界平均振動における最大正則性を通じた, 2次元問題へのより詳細な研究を行うことができた. 今後はこうした臨界空間における特異極限問題の安定性について, 圧縮性粘性流体などのより複雑な問題に対して, 研究対象を拡大したい.
一方半空間における実補間空間に着いての函数について考察を進め, とりわけ流体問題に適用可能な時間端点最大正則性を示すことで, 圧縮性・非圧縮性粘性流体に対する自由境界問題ヘの応用を目指す. また同時に半空間における非線型分散型問題の時空分散評価について高次元への展開を目指し, 境界時空分散評価の確立を目指す.
また, 局所ルベーグ可積分クラスにおける多様な非線型放物型問題の研究は, 非圧縮性粘性流体の運動方程式などの研究において知られるが, 対流拡散方程式に対しても同様の成果を得られたことから, Keller-Segel系や, 移流拡散方程式に対する適用, さらには圧縮性粘性流体の問題に対する拡張を目指す.
一方MHD方程式の研究に端を発し, Hall効果を持つ問題や, 磁気電気効果を持つ問題の数学的な設定を行い, さらにスケール臨界空間での可解性に必要な, 双線形評価や時間端点最大正則性, あるいは多重スケール普遍性に起因する非線型構造の分類などの研究を深めたい.
コロナ感染症拡大期に行えなかった, 海外研究者らの招へい及び若手研究者らの海外短期派遣を通じ研究交流の活発化を目指す.
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