| 研究課題/領域番号 |
19J00046
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| 研究機関 | 東京大学 |
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研究代表者 |
橋詰 健太 東京大学, 大学院数理科学研究科, 特別研究員(PD)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-25 – 2022-03-31
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| キーワード | 対数的標準対 / 極小モデル理論 / フロップ |
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| 研究実績の概要 |
今年度は対数的標準対の極小モデル理論の研究およびこの研究で得られた結果の応用を行った。対数的標準対の極小モデル理論の研究では、Hu氏の重要な研究のアイデアを応用することによって、Birkar、Cascini、Hacon、McKernanの4氏による川又対数的端末対の極小モデル理論の結果を部分的に対数的標準対の枠組みに拡張した。彼らの結果を対数的標準対に完全に拡張することができれば極小モデル理論が解決されることが知られている。この研究で得られた結果によって、川又対数的端末対に関するいくつかの既知の結果が対数的標準対に拡張できることが期待される。
上記の研究によって、対数的標準対が与えられたとき、極小モデルプログラムによって得られる極小モデルたちにどのような関係があるか、というのが自然な問いとして浮かび上がった。Q-分解的な川又対数的端末対の場合については、上記の4氏や川又氏により、2つの極小モデルがフロップという操作で繋げられることが知られている。今年度の研究によってこの結果に対応する対数的標準対の場合の結果が得られた。具体的には、極小モデルプログラムによって得られる2つの極小モデルがフロップと端射線収縮という2つの操作により繋げられることが分かった。この結果により、極小モデルプログラムによって得られる2つの極小モデルが幾つかの幾何的な性質を共有することが分かった。さらに、対数的標準対の枠組みにおいては、この研究によって得られた結果をこれ以上拡張できないことを示す具体例も構成した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
昨年度より研究してきた擬対数的標準対の研究はうまくいかず、重要な結果は得られなかった。その代わりに得られた研究の結果は非常に強力なものである。またその結果の応用も見つかった。よって順調に進んでいるといえる。
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| 今後の研究の推進方策 |
今年度の研究で得られた結果の応用を引き続き模索していく。また現在、対数的標準対における「log abundant」という性質が非常に重要であると見ており、この性質についても研究していく予定である。この性質は、極小モデル理論の重要な問題の１つである「アバンダンス予想」と密接に関係しているが、全く同じではない。
また、特異点に関する量についても、有効であると思われる量と極小モデルプログラムの停止性に関係する主張も見つかった。これに関してもより深く考察していきたい。
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