| 研究課題/領域番号 |
19J00046
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| 研究機関 | 東京大学 |
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研究代表者 |
橋詰 健太 東京大学, 大学院数理科学研究科, 特別研究員(PD)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-25 – 2022-03-31
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| キーワード | log abundant / 非消滅定理 / 一般化された対数的標準対 |
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| 研究実績の概要 |
今年度は極小モデルの存在予想と対数的標準対についてのlog abundantと呼ばれる性質についての研究成果を得た。極小モデル理論について、log abundantと呼ばれる性質は、アバンダンス予想という予想と深い関係があることが知られている。今年度の研究では、このlog abundantの性質と極小モデルの存在予想の関連性を証明した。具体的には、対数的標準対に良い極小モデルプログラムを走らせた際、十分なステップの後にlog abundantの性質が現れれば、この極小モデルプログラムは停止することが分かった。特に、良い極小モデルプログラムで、log abundantの性質を保つものは必ず有限ステップの後に停止することが分かった。この結果は、川又対数的端末対と呼ばれる特別なクラスについてはLai氏によって証明されていたが、対数的標準対では知られていなかった。この結果は現在まで得られた様々な結果を1つに統一し、さらに擬対数的標準対(semi-log canonical pair)についての極小モデル理論の結果も得られた。
また、「一般化された対数的標準対」と呼ばれる対象についての非消滅定理の結果も得た。「一般化された対数的標準対」とは、近年の双有理幾何学の発展に大きく貢献しており、現在の対数的標準対の極小モデル理論の結果の多くは「一般化された対数的標準対」に拡張できると期待されている。今年度の研究では、偏極化された対数的標準対の非消滅定理をこの「一般化された対数的標準対」に拡張した。この結果を応用して、「一般化された対数的標準対」についての極小モデル理論の構築も期待できる。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
今年度の極小モデルの存在予想とlog abundantの性質の関連性の研究で、現在まで行ってきた研究の十分な一般化を得た。また、極小モデル理論の結果を「一般化された対数的標準対」に拡張することもできた。当初の研究計画とは別の方向性の結果が得られているが、対数的標準対の極小モデル理論が発展しているので順調に進展していると言える。
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| 今後の研究の推進方策 |
昨年度に引き続き、極小モデル理論の完成を目標に研究を行う。さらに、今年度の研究成果は他のテーマに応用ができる結果と考えているので、他テーマへの応用も視野に入れる。具体的には、対数的標準対よりもさらに悪い特異点、特に擬対数的標準対(semi-log canonical pair)と「一般化された対数的標準対」について、極小モデル理論の拡張及び極小モデル理論の応用を探っていきたい。
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