| 研究課題/領域番号 |
19J00763
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| 研究機関 | 慶應義塾大学 |
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研究代表者 |
片岡 武典 慶應義塾大学, 理工学部, 特別研究員(PD)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-25 – 2022-03-31
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| キーワード | 岩澤理論 / 岩澤主予想 / Fittingイデアル / 楕円曲線 / Stark系 |
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| 研究実績の概要 |
1. 総実体上の同変岩澤理論における岩澤加群のFittingイデアルについて研究した．このような岩澤加群のFittingイデアルの計算については，私自身の以前の研究の成果として，Fittingイデアルのシフトという代数的な道具を整備していた．今年度の研究では，従来では扱えなかった種類の岩澤加群についても，シフトを用いてFittingイデアルを計算する方法を確立することができた．より具体的には，pの上の素点でのみ分岐を許す岩澤加群が対象である．このために，従来の方法で障害となっていた，いわゆる悪い素点の寄与を決定した．
2. 虚二次体の二変数同変岩澤理論における岩澤加群のFittingイデアルについて研究した．これは上記 1. の研究の二変数類似と捉えられる．今年度の成果として，上記 1. でのアイデアを応用することで，従来では扱えなかった種類の岩澤加群のFittingイデアルを記述した．より具体的には，pが虚二次体で分解する場合に，その一方の素点でのみ分岐を許す岩澤加群が対象である．さらに，虚数乗法を持つ楕円曲線のSelmer群への応用を得た．
3. 楕円曲線の同変岩澤理論について研究し，従来の結果よりも弱い仮定の下で同変主予想の片側の可除性を証明した．そのために，まず同変主予想をBeilinson-加藤のzeta元を用いた予想に言い換えた．そして近年発展しているStark系の理論をより適した形に再構築することで結果を得た．この過程で得られたStark系の一般論は，楕円曲線に限らず一般のp進表現に適用可能である．これらの成果は，より一般の精密な主予想への視点を与えており，さらなる応用が見込まれる．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
第一・第二の成果では，これまで計算できていなかった岩澤加群のFittingイデアルを計算する方法を確立することができた．これは本研究の目標の一つだった．第三の成果では，楕円曲線の同変主予想への考察を見据えて，Stark系の理論に新たな観点を与えることができた．この観点は本研究の今後の目標を達成するためのアプローチとなることが期待される．以上を踏まえて，おおむね順調に進展していると評価できる．
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| 今後の研究の推進方策 |
第三の成果で得られた，Stark系の理論の解釈を推し進め，高階の岩澤理論も視野に入れてさらに発展させる．そうして得られた一般論を，楕円曲線のみならず様々な対象に応用する．
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