| 研究課題/領域番号 |
19J00763
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| 研究機関 | 慶應義塾大学 |
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研究代表者 |
片岡 武典 慶應義塾大学, 理工学部, 特別研究員(PD)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-25 – 2022-03-31
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| キーワード | 岩澤理論 / 岩澤加群 / イデアル類群 / Fittingイデアル / 楕円曲線 |
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| 研究実績の概要 |
1. 高余次元の同変岩澤理論について研究した．より具体的な考察対象は，擬零であると予想されている不分岐岩澤加群であり，高階数の場合は外冪を用いたその代替物である．先行研究では非同変な場合が扱われていたが，本研究では，完全複体の determinant 加群を利用することで，同変の場合にも通用する理論を構築した．この手法は，非同変な状況でも，従来より精密な結果を導くことができる．
2. 虚二次体の二変数拡大の不分岐岩澤加群について，その有限部分加群の構造について研究した．一変数の場合には，有限部分加群の構造は古くから調べられている．一方で二変数の場合には詳しくは知られていなかった．本研究では，まず，岩澤加群をコホモロジーに持つ複体の構造を調べることにより，有限部分加群のある種の上界を与え，特にしばしば自明であることを示した．さらに多少の仮定の下で，有限部分加群の位数を与える公式を得た．その応用として，非自明な有限部分加群を持つ例を構成した．
3. 代数体の類群のFittingイデアルについて研究した(熱田真大氏との共同研究)．より具体的には，代数体のCM可換拡大に対して，同変玉河数予想の下で，類群のマイナス部分のFittingイデアルを決定した．さらに，得られた明示的な公式の応用として，Stickelberger元が類群のFittingイデアルに入るための必要十分条件を得ることができた．
4. 上記 1. で構築した理論を応用することで，楕円曲線についての高余次元の同変岩澤理論について研究した．このために，楕円曲線に特有の事情として，局所有理点の構造を詳しく調べたり，双対性の下での局所条件の振る舞いを調べたりした．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
第一・第四の成果では，近年発展している高余次元の理論について，新たなアプローチを導入することができた．第二の成果では，不分岐岩澤加群の構造に関する，素朴でありながら糸口の少なかった問題に対し，新たな手法を導入することで大きな進展に成功した．第三の成果では，類群のFittingイデアルという，これも素朴でありながら困難だった問題に対し，満足のいく解答を与えることができた．これらは全て，当初想定していたよりも優れた成果と言える．一方で，計画していた楕円保型形式に対する同変岩澤理論の構築は，先行研究の精査に手間取り，想定より遅れている．これらを総合すると，おおむね順調に進展していると評価できる．
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| 今後の研究の推進方策 |
引き続き，楕円保型形式に対する同変岩澤理論の構築を目標とする．必要に応じて，関連する研究者と連絡を取りながら進める．一方，これまでの研究の過程で，考察するべき新たな問題がいくつか現れてきたため，それらについても研究を進めていく．
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