トーリック多様体とカスプ特異点の研究

2020 年度 実施状況報告書

• 研究課題/領域番号: 19K03393
• 研究機関: 東北大学
• 研究代表者: 石田 正典 東北大学, 理学研究科, 名誉教授 (30124548)
• 研究分担者: 土橋 宏康 宮城教育大学, 教育学部, 特任教授 (00146119)
• 研究期間 (年度): 2019-04-01 – 2023-03-31
• キーワード: トーリック多様体 / カスプ特異点 / コクセター群

研究実績の概要

この研究では特に実空間の開凸錐に離散群が整数点集合を保存するように作用していて，その開凸錐の分割である扇とそれに伴うトーリック多様体およびカスプ特異点について研究を集中している．
研究代表者の石田は昨年度に引き続き Vinberg の線形コクセター群の例を与える直角鏡映群について研究した．3 次元で立方体のアフィンコクセター群と立方体の自己同型群の合成群の特殊な部分群の分類と整理を行った．また 3 つの元で生成されるコクセター群について，コクセター群から構成される曲面に自由に作用する部分群を見つける計算機プログラムについても，これを他の場合に適用出来るように改良を試みている．指数が 20 くらいまでのいくつかの部分群について実際に計算を行った．その他の場合，特に4 次元で双曲的な群を与えるコクセター群についても考えているが，考える必要のある３次元多面体の面の数が多くなるためプログラムが非常に複雑になるなど実行には困難が多い．
分担者の土橋は4次元カスプ特異点で例外集合が既約となるものが存在するか考察した．3 次元の場合にはこれまでの研究で例外集合が既約で双対グラフが任意の負の数のオイラー数の曲面の三角形分割となるものが存在することがわかっていた．4 次元での類似を考察し，カスプ特異点の例外数集合ではないが，4次元複素多様体の既約因子でその双対グラフが球面，実トーラスの単体分割となるものがいくつか得られた．これらの結果を参考にしてカスプ特異点の例外集合となるものが構成できないか現在考察中である．

現在までの達成度

3: やや遅れている

理由

研究代表者の石田が研究を行った立方体の鏡映群 W であるが，これは 3 次元アフィン空間に作用するアフィン変換群の部分群となる．立方体の 6 つの面についての鏡映変換で生成されるが，これ自体は当然多くの固定点を持つ．一方 3 次元の立方体は位数 48 の自己同型群 G をもつので，これと鏡映群と合成することにより，鏡映群を指数 48 の部分群として含む離散群 GW を構成することが出来る．この GW の指数 48 の部分群をうまくとることにより 3 次元空間に自由に作用してしかも元の立方体が基本領域となるように出来る．計算機を使うことにより実際このような群が同値類として 18 通りあることがわかった．また，これに対応するトーリック多様体とその商空間を考えると代数的トーラスを被覆空間とする代数多様体のトーリック因子への退化が実現できる．このことは興味深い結果である．さらにこの考察と手法を双曲空間の凸多面体にも試してカスプ特異点の構成にも役立てたいが，現在のところ困難が多く余り研究は進んでいない．

今後の研究の推進方策

研究代表者の石田と分担者の土橋はウイルス感染拡大のため東北大学数学教室でセミナーを行うことはできなかったが，互いの得られた結果について意見を交換しながらそれぞれ研究を進めた．また関係する分野の最新の結果を知るため日本数学会秋季総合分科会などに出席することも重要であるが，これらがオンライン開催となったため出張経費は使用していない．今後は出来ればこれらに出席して研究を進めたい．
本研究のテーマであるトーリック型カスプ特異点は開凸錐とそれに作用する離散群から構成されるが，例の構成にコクセター群が非常に有用であり，すでに数多くの実例が見つかっている．特に存在が不明であった 5 次元カスプ特異点の構成が可能であることも土橋の研究で示された．これについての詳しい解析は困難な部分がいろいろあるが，新たな手法を開拓しながらさらに研究を進めていく予定である．
なお，分担者の土橋は 2020 年度で勤務先の宮城教育大学を退職することになったためやむを得ずこの年度で分担者を終了することになった．土橋の手法については石田がかなり会得しており，また今後も助言を得ることにしているので研究に支障はない．

次年度使用額が生じた理由

2020 年度は感染症拡大の影響で研究集会等がほとんど開催されなかったため出張が出来なかった．次年度以降これが可能となれば積極的に利用したい．