| 研究課題/領域番号 |
19K03397
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| 研究機関 | 東京工業大学 |
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研究代表者 |
田口 雄一郎 東京工業大学, 理学院, 教授 (90231399)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2022-03-31
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| キーワード | ガロア表現 / モジュライ / クムマー忠実体 / 分岐理論 / 遠アーベル幾何学 |
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| 研究実績の概要 |
本研究の初年度である 2019年度に於いては、それ以前からの研究の蓄積もあり、クムマー忠実体の分岐理論的特徴づけの研究（小関祥康氏との共同研究）がスムーズに進展した。クムマー忠実体は遠アーベル幾何学に於いて重要な概念であり、望月新一により定義された。我々は（オリジナルのクムマー忠実体より少し一般に）「高次クムマー忠実体」の分岐理論的性質を研究し、有限次代数体のガロア拡大が高次クムマー忠実となるための十分条件を得た。この結果を纏めた論文は現在 arXiv に投稿した段階であり、近々専門誌に投稿する予定である。この論文に於いて我々は以下の結果を証明した： k を有限次代数体とするとき、分岐が至る所有限である様な k のガロア拡大は高次クムマー忠実である。応用として、例えば k 上の半アーベル多様体 A と自然数 n を固定し、素数 p を動かすとき、A の p^n 等分点の座標を全て k に添加して得られる拡大体は高次クムマー忠実である事が分かる。また、「高次クムマー忠実」「クムマー忠実」「sub-p-adic」という三つの概念の間の関係も明らかにした。この研究に於いて明らかとなつた興味深い事実の一つに次がある：有限次代数体 k の（無限次でもよい）ガロア拡大 K について、K に含まれる k の任意の有限次拡大 k' に対し、K/k' の最大アーベル部分拡大の分岐指数が有限ならば K は高次クムマー忠実 である。この言明に「最大アーベル部分拡大」が現れるのは証明の途中で類体論を適用するからであり、高次クムマー忠実体が類体論と深い親和性を有している事を示唆している。この事から、我々の理論から、有限次代数体の（例えば）PSL(n,Zp)-拡大の高次クムマー忠実性が導かれると期待される。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
本研究は、一つ前の研究課題「ガロア表現のモジュライ空間の内在的構造の研究」（基盤研究（C）、2016年度～2018年度）の自然な発展であり、様々なアイディアが自然に援用出来た事が助けになっている。また、ガロア表現の研究に於いては以前から共同研究をしたり研究打合せをしたりして助けて頂いている小関祥康氏の助力を得られたことも大きい。
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| 今後の研究の推進方策 |
初年度の研究により、有限次代数体のガロア拡大が高次クムマー忠実となる分岐理論的十分条件が得られた。これは、有理数体のアーベル拡大の場合には必要条件でもある。そこで、一般の有限次代数体の場合にも、そのアーベル拡大については、我々の十分条件は必要十分条件に近いのではないかと想定される。2020年度の研究ではこの事を確かめる。即ち、一般の有限次代数体（或いは、CM体等、特別な類体論が知られている代数体）のアーベル拡大について、我々の分岐理論的条件が高次クムマー忠実性のための必要条件にどれくらい近いかを調べる。
ガロア表現のモジュライの観点からは、我々の研究の大きな目的は、「どんなガロア表現がどこにどの様に存在しているのか」を調べる事である。そこで、これまでに分かった結果を用いて、クムマー忠実体が、どこに、どの様に存在しているのかを調べる。とは言え、ガロア表現のモジュライと異なり、体のモジュライは（少なくとも素朴な意味では）存在していないので、この問題の定式化自体非自明である。
最後に、我々の方法は、考える体が有限次代数体（等の既知のクムマー忠実体）のガロア拡大である事が本質的である。これは Mordell-Weil群全体の可除部分を、捻じれ部分のそれに帰着するために使われるのであり、「ガロア」という仮定を外すと本質的に新しい方法論が必要になると思われる。これは、現状では大きな困難が伴う課題であると思われるが、残りの二年間でチャレンジしたい問題である。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
2020年8月に大規模な国際研究集会 (East Asia Number Theory Conference) を行う予定であり、そのために2020年度には多額の予算が必要となったため。
（しかしこの研究集会は新型コロナウィルス感染症蔓延のため来年度以降に延期となった。そのため再び予算を立て直さねばならない。）
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