| 研究課題/領域番号 |
19K03397
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| 研究機関 | 東京工業大学 |
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研究代表者 |
田口 雄一郎 東京工業大学, 理学院, 教授 (90231399)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2022-03-31
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| キーワード | ガロア表現 / モジュライ / クムマー忠実体 / 分岐理論 / 遠アーベル幾何学 |
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| 研究実績の概要 |
2020年度（本研究二年目）に於いては、それ以前から地道に継続して来たクムマー忠実体の分岐理論的特徴づけの研究（小関祥康氏との共同研究）が一段落し、漸く論文に纏め上げる事が出来た。クムマー忠実体は遠アーベル幾何学に於いて重要な概念であり、望月新一により定義された。我々は（オリジナルのクムマー忠実体より少し一般に）「高次クムマー忠実体」の分岐理論的性質を研究し、有限次代数体のガロア拡大が高次クムマー忠実となるための十分条件を得た。この結果を纏めた論文は最初arXivに投稿した後、Kodai Mathematical Journalに投稿し、最近出版が決定した。この論文に於いて我々は以下の結果を証明した：kを有限次代数体とするとき、分岐が至る所有限である様なkのガロア拡大は高次クムマー忠実である。応用として、例えば k 上の半アーベル多様体Aと自然数nを固定し、素数pを動かすとき、Aのp^n等分点の座標を全てkに添加して得られる拡大体は高次クムマー忠実である事が分かる。また、「高次クムマー忠実」「クムマー忠実」「sub-p-adic」という三つの概念の間の関係も明らかにした。この研究に於いて明らかとなつた興味深い事実の一つに次がある：有限次代数体kの（無限次でもよい）ガロア拡大Kについて、Kに含まれるkの任意の有限次拡大k'に対し、K/k'の最大アーベル部分拡大の分岐指数が有限ならばKは高次クムマー忠実である。
この研究に続いて、（クムマー忠実性の類似として）「アルティン=シュライヤー忠実性」の概念を考察するのは自然な流れである。その過程で我々は、ドリンフェルト加群のモーデル=ヴェイユ群の可除性の研究に思い至った。これについて、或る程度の成果は得られているが、未だ論文に纏めるには至っていない。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
本研究は、一つ前の研究課題「ガロア表現のモジュライ空間の内在的構造の研究」（基盤研究（C）、2016年度～2018年度）の自然な発展であり、様々なアイディアが自然に援用出来た事が助けになっている。また、ガロア表現の研究に於いては以前から共同研究をしたり研究打合せをしたりして助けて頂いている小関祥康氏の助力を得られたことも大きい。加えて最近は京都大学数理解析研究所の遠アーベル幾何学の専門家の方々とも情報交換させて頂き、研究の方向性を見定めるよすがとしている。
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| 今後の研究の推進方策 |
これまでの研究により、有限次代数体のガロア拡大が高次クムマー忠実となる分岐理論的十分条件が得られた。これは、有理数体のアーベル拡大の場合には必要条件でもある。そこで、一般の有限次代数体の場合にも、そのアーベル拡大については、我々の十分条件は必要十分条件に近いのではないかと想定される。2020年度の研究でこの事を確かめようとしたが、（コロナ対応で時間が取れなかった事も災いして）特に今の所進展が無い。出来れば、一般の有限次代数体（或いは、CM体等、特別な類体論が知られている代数体）のアーベル拡大について、我々の分岐理論的条件が高次クムマー忠実性のための必要条件にどれくらい近いかを調べたい。
もう一つの方策として、（クムマー忠実性の類似として）「アルティン=シュライヤー忠実性」の概念を考察するのは自然な流れである。実際、この方面に研究を進める過程で我々は、ドリンフェルト加群のモーデル=ヴェイユ群の可除性の研究に着手するに至った。これについて、或る程度の成果は得られているが、未だ論文に纏めるには至っていない。今後、この方面の研究を推進して行きたい。
ドリンフェルト加群関連の研究では、これに対するスピロ予想を考察するのも重要な課題の一つである。また、本来の問題であったクムマー忠実性の関連では、これまで我々が考察して来なかった、高次元局所体（の無限次拡大）のクムマー忠実性や、高次元局所整域の分数体（の無限次拡大）のクムマー忠実性についても研究を進めたい。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
2020年8月に大規模な国際研究集会 (East Asia Number Theory Conference) を行う予定であったが、この研究集会が新型コロナウィルス感染症蔓延のため2021年度に延期となったため、次年度使用額が生じた。2021年度には、当初の使用予定に準じた支出を計画している。但し、海外からの参加者は来日不可能となる可能性もある。その場合、招聘旅費は少なくなるが、研究集会をハイブリッド開催（オンラインとオンサイトの併用）にするので、浮いた旅費はオンライン機材を調達する費用に充当する。
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