| 研究課題/領域番号 |
19K03397
|
|---|
| 研究機関 | 東京工業大学 |
|---|
研究代表者 |
田口 雄一郎 東京工業大学, 理学院, 教授 (90231399)
|
|---|
| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2023-03-31
|
| キーワード | ガロア表現 / モジュライ / クムマー忠実体 / 分岐理論 / 遠アーベル幾何学 |
|---|
| 研究実績の概要 |
2021年度（本研究三年目）に於いては、それ以前から地道に継続して来たクムマー忠実体の分岐理論的特徴づけの研究（小関祥康氏との共同研究）が漸く出版された（Kodai Math. J.）。そこで、これに続く研究（クムマー忠実性の類似）として、「アルティン=シュライヤー忠実性」の概念を考察するのは自然な流れである。その過程で我々は、ドリンフェルト加群のモーデル=ヴェイユ群の可除性の研究に思い至った。これについて、或る程度の成果は得られており、例えば一つのドリンフェルト加群のP冪等分点（その冪は有限）の座標を、Pを全ての素イデアルに亘って動かして添加して得られる拡大体上のモーデル=ヴェイユ群は非可徐である。詳細についてはさらなる研究が必要で、未だ論文に纏めるには至っていない。それより先に遂行すべき研究課題として、「ドリンフェルト加群に対するスピロ予想」があり、2021年度は浅山氏、黄氏らと協力してその研究に着手した（これも函数体の数論に於ける重大問題であり、本研究課題と密接な関係がある）。現時点で、階数2の半安定なドリンフェルト加群であってj不変量の絶対値が適当な条件を満たす場合に、スピロ予想の特別の場合と称するに相応しい不等式が確認出来ている。また、ドリンフェルト加群では（楕円曲線の場合と異なり）無限素点での分岐の寄与が無視出来ない。その事を如実に示すような実例を構成出来た。具体的には、整環上至る所良還元を持つドリンフェルト加群の無限族で、高さが無限大に発散するものが構成出来た。対応するガロア表現の導手を、もし有限素点にだけ限って考察するならば、「導手が1」という事になり、スピロ予想的な不等式は期待し得ない。そこで、この族のガロア表現の無限素点での分岐も無限遠に発散しているものと期待される。現在この現象を確認しようとしているところである。
|
| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
当初の計画の（感覚的に言って）八割方は上述の論文で解決出来た。これに続くはずの研究はさらに興味深いが、困難も大きく、直ぐに着手するのは得策でない様に思われる。そこで、少し見方を変えて、スピロ予想の研究に専念するのが得策であると思われる。これはドリンフェルト加群の高さと導手との間に成り立つであろう不等式であり、楕円曲線の場合と異なり、ドリンフェルト加群に対しては未だ正確な定式化が知られていない（その定式化が第一の課題である）。楕円曲線の場合のスピロ予想はabc予想と同値であり、これは望月新一氏により証明されたが、その証明の重要な構成要素が遠アーベル幾何学である。クムマー忠実体は、直観的には「遠アーベル幾何学が成立する様ななるべく大きい体」であり、その意味でスピロ予想の研究は当初の研究課題の別方面からのアプローチとなっている。
|
| 今後の研究の推進方策 |
これまでの研究により、有限次代数体のガロア拡大が高次クムマー忠実となる分岐理論的十分条件が得られた。これは、有理数体のアーベル拡大の場合には必要条件でもある。そこで、一般の有限次代数体の場合にも、そのアーベル拡大については、我々の十分条件は必要十分条件に近いのではないかと想定される。出来れば、一般の有限次代数体（或いは、CM体等、特別な類体論が知られている代数体）のアーベル拡大について、我々の分岐理論的条件が高次クムマー忠実性のための必要条件にどれくらい近いかを調べたい。この問題についてかなり考えたが、今のところ進展が無い。そこでこの一年ほどはドリンフェルト加群に対するスピロ予想を研究して来た。これについては浅山氏及び黄氏と共同で或る程度研究して進展が見られたが、予想の完全な定式化は未だ得られていない。スピロ予想については引き続き両氏と共に研究を続け、一般の場合の定式化を得たい。次の研究課題として、（クムマー忠実性の類似として）「アルティン=シュライヤー忠実性」の概念を考察するのは自然な流れである。実際、この方面に研究を進める過程で我々は、ドリンフェルト加群のモーデル=ヴェイユ群の可除性の研究に着手するに至った。これについて、或る程度の成果は得られているが、未だ論文に纏めるには至っていない。今後、この方面の研究を推進して行きたい。また、本来の問題であったクムマー忠実性の関連では、これまで我々が考察して来なかった、高次元局所体（の無限次拡大）のクムマー忠実性や、高次元局所整域の分数体（の無限次拡大）のクムマー忠実性についても研究を進めたい。
|
| 次年度使用額が生じた理由 |
2020年8月に大規模な国際研究集会 (East Asia Number Theory Conference) を行う予定であったが、この研究集会が新型コロナウィルス感染症蔓延のため2021年度に延期となったため、この年、次年度使用額が生じた。2021年度には実際にこの研究集会を開催したが、海外からの参加者は来日不可能であり、国内の参加者も来場が困難だったので、オンラインで開催した。そのため招聘旅費は不要となり、2022年度に繰り越した。来日予定だった研究者が今年度来日可能になれば、研究集会とは別途招聘するか、或いはそれに準じた海外または国内からの招聘をしたい。
|
