| 研究課題/領域番号 |
19K03400
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| 研究機関 | 滋賀大学 |
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研究代表者 |
長谷川 武博 滋賀大学, 教育学部, 准教授 (80409614)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2022-03-31
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| キーワード | 超幾何関数 / ドリンフェルト加群 / 多重対数関数 / モジュラー曲線 / 超特異点 |
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| 研究実績の概要 |
２０年度は以下の４つの研究の成果を得た．（１）タクールは，ガウス超幾何関数の関数体類似としてタクール超幾何関数を与えた．この関数はカーリッツ指数関数の一般化で，係数としてトリビアルパラメータをとればカーリッツ指数関数になる．またこの関数はパラメータを特殊化すればベッセル関数など特殊関数が生じる．われわれはタクール超幾何関数をドリンフェルトタイプに一般化した．つまり，トリビアルパラメータをとればドリンフェルト指数関数になる．さらにこの関数を解にもつ超幾何微分方程式を与えた．また，パラメータを特殊化すれば特殊関数の一般化が生じる．（２）（１）とは異なるタイプの関数体版超幾何関数を定義し，その収束半径を計算した．この関数はトリビアルパラメータをとればカーリッツ対数関数になる．またあるパラメータをとればコチュベーイの多重対数関数になる．さらにこの関数を解にもつ超幾何微分方程式を与えた．（３）（２）の関数をドリンフェルトタイプに一般化した．つまり，トリビアルパラメータをとればドリンフェルト対数関数になる．またこの関数を解にもつ超幾何微分方程式を与えた．この関数は「周期」と関係する．この現象はガウス超幾何関数の類似である．タクール超幾何関数は周期との関係は知られていない．（４）（３）の関数を，モジュラー曲線の塔の研究に応用した．楕円モジュラー曲線の漸近最良塔は超特異点の個数をカウントする際，ガウス超幾何関数の切断多項式を用いる手法が知られている．ドリンフェルトモジュラー曲線の場合は，てきせつな関数体版超幾何関数が知られていなかったので，この手法が使えなかった．タクール超幾何関数はこの研究にはマッチしないが，われわれのものはこの研究にマッチする．つまり，（３）の関数の切断多項式を用いれば超特異点の個数がカウントでき，楕円モジュラーの場合と並行に証明が進む．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
論文を二本作成した．そのうちの一本についてはパート２を作成中である．
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| 今後の研究の推進方策 |
今後は以下の研究を計画している．（１）階数２超特異ドリンフェルト加群をカウントする超特異多項式は明示的に与えられているので，一般階数の場合に超特異多項式を明示的に与えたい．（２）ドリンフェルトタイプの超幾何関数の係数は関数体版ポッホハマーであるが，その係数を一般化したい．またその収束半径を決定したい．（３）ドリンフェルト加群に対し，超幾何関数は定義されたので，ドリンフェルト加群の一般化である t 加群に対し，超幾何関数を定義したい．（４）関数体版超幾何関数と周期の関係を深めたい．
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