直交多項式と可積分系による逆平面分割の解析

2020 年度 実施状況報告書

• 研究課題/領域番号: 19K03402
• 研究機関: 京都大学
• 研究代表者: 上岡 修平 京都大学, 情報学研究科, 助教 (70543297)
• 研究期間 (年度): 2019-04-01 – 2024-03-31
• キーワード: 平面分割 / 数え上げ組合せ論 / 直交多項式 / 可積分系

研究実績の概要

逆平面分割は「よい母関数」を持つ組合せ論的オブジェクトであり，よい母関数とは積の形に表すことができる母関数あるいは分配関数のことである．本研究の主目的は，逆平面分割および平面分割に対して，新しいよい母関数を発見・構成することである.
本研究では，よい母関数を具体的に構成するために直交多項式および可積分系を利用する．本研究の２年目にあたる令和２年度には，古典直交多項式のひとつであるAskey-Wilson多項式，および可積分系のひとつである離散2次元戸田分子方程式を用いて，平面分割の新しいよい母関数を構成した．具体的には（１）Askey-Wilson多項式のパラメータシフトに由来する隣接関係式から，離散2次元戸田分子方程式の厳密解で，他の古典直交多項式から得られる既存の解に含まれないものを構成した．そしてその厳密解を用いて（２）上に有界な平面分割のよい母関数で，Askey-Wilson多項式と同じ5個のパラメータを含み，かつ既存のよい母関数に帰着しないまったく新しいものを構成した．
Askey-Wilson多項式は古典直交多項式の分類（Askeyスキーム）において頂点に位置する立場にあり，little q-Jacobi多項式やlittle q-Laguerre多項式など，本研究および研究代表者による先行研究の中で扱ってきた直交多項式の一般化にあたるものである．この事実を反映して，このAskey-Wilson多項式由来のよい母関数は，MacMahon母関数やトレース母関数など既存の多くのよい母関数の完全な一般化になっている．本年度の成果は（逆）平面分割の重要な母関数を拡張するものとして，また組合せ論的な手法によらない新しい母関数の構成法を提示するものとして，意義あるものである．

現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

令和2年度の当初計画では次の点を実施することを予定していた．
・「通常の逆平面分割のよい母関数」の具体例の計算：初年度の研究をさらに進めて古典直交多項式のひとつであるAskey-Wilson多項式（およびそれを独自に拡張した直交多項式）からよい母関数の具体例をつくる．
「研究実績の概要」でも述べた通り，Askey-Wilson多項式の独自拡張までは見つかっていないものの，本年度の成果として，Askey-Wilson多項式から平面分割の新しいよい母関数を具体的に構成することには成功している．この母関数は，本研究の核となるアイデア「可積分系の解からよい母関数を構成する」の有効性を示すものであり，また既存の重要な母関数を拡張するものとして意義深いものである．また準備段階ではあるが，同様のアイデアは，対称平面分割やアステカダイヤモンドのタイリングなど，他の組合せ論的オブジェクトに対しても有効であることを確認している．このことから本研究2年目の当初計画はおおむね達成できており，本研究は順調に進展していると言える.

今後の研究の推進方策

令和3年度以降は下記3点を実施する．
（１）直交多項式および可積分系による「対称な（逆）平面分割のよい母関数」の構成法の定式化（R3年度）：対称な逆平面分割に対して，通常の逆平面分割と同様の「よい母関数」の雛形となるべき公式をつくる．対称な逆平面分割の母関数はパフィアンで書き下せるものが主である．そのため定式化の際には，歪直交多項式（skew orthogonal polynomials）などパフィアンに関連する直交多項式や，パフィアン解を持つ可積分系を用いる．
（２）「対称な逆平面分割のよい母関数」の具体例の計算（R3～4年度)：（１）でつくった雛形を用いて「対称な逆平面分割のよい母関数」の具体例を求める．元となる直交多項式や可積分系の解としては，古典直交多項式の歪類似などを用いる．また研究代表者の先行研究において予想段階ながらよい母関数の具体例が見つかっているので，その母関数を一般化することによりさらに新しい母関数をつくる．
（３）新しい直交多項式の詳しい解析（R3～5年度，必要に応じて随時）：（１）および（２）において未知の新しい直交多項式が現れた場合その性質を詳しく調べる．特に古典直交多項式やその歪類似を拡張して得られるものに対しては，元々あったよい性質（明示公式，直交関係式，微分・差分方程式による特徴付け，上昇・下降演算子の存在など）を保っているかどうかを重点的に調べる．その過程でさらに新しい直交多項式が見つかった場合には，その成果をフィードバックしてよい母関数のさらなる発見につなげる.

次年度使用額が生じた理由

次年度使用額（620,390円）が生じた理由は，主に新型コロナウイルス感染症の蔓延によるものである．これにより参加を予定していた研究集会・学会（日本応用数理学会2021年度年会・同第17回研究部会連合発表会，日本数学会2020年度秋季総合分科会・同2021年度年会等）および国際会議（FPSAC 2020（イスラエル），等）がすべてオンライン開催となったため，そのために計上していた旅費等を次年度以降に振り替えることとした．
翌年度には当初，物品費（研究に用いる計算機等，関連分野の図書等の購入）に500,000円，国内外の旅費（成果発表，関連分野の情報収集，研究打合せ等）に400,000円の計900,000円を請求していた．翌年度についても，多くの学会および国際会議がオンライン開催となることが予想されるため，また遠隔での研究交流等を推進するため，次年度使用額分620,390円は次のように使用する：（１）翌年度購入予定であった研究用計算機の仕様を高性能なものに変更（310,390円）．（２）オンライン会議用機器（ビデオカメラ，マイク等）の購入（150,000円）．（３）研究交流やオンライン研究会等における講演謝金（160,000円）．

研究成果

• [学会発表] Askey-Wilson多項式から導く平面分割の積型和公式 (2021)
  • 著者名/発表者名: 伊藤眞麻，上岡修平
  • 学会等名: 日本数学会2021年度年会