| 研究実績の概要 |
今年度の研究実績は大きく分けて二つあり、一つは保型形式の岩澤主予想に関する研究、もう一つは局所イプシロン予想に関する研究である。後者の研究は佐賀大学博士後期課程に在籍中の石田哲也氏との共同研究となる。
まず、一つ目の保型形式の岩澤主予想に関する研究では、ここ２年ほど取り組んでいた、加藤和也氏のゼータ元の普遍変形への拡張に関する論文をようやく完成させることができた。また、この結果の応用として、保型形式に対する（加藤和也氏により一般の場合に定式化された）岩澤主予想の成立が、法pで合同な保型形式に対して同値となるという定理を証明することができた。この結果は、pで通常な楕円曲線の場合にはGreenberg-Vatsalにより、pで通常な保型形式の場合にはEmerton-Pollack-Westonにより知られていたが、我々の結果ではpで通常という強い仮定は不要で全ての合同な保型形式に対して適用可能となる。これによって、多くの場合に成立が知られているpで通常な保型形式に対する岩澤主予想から、pでの分岐が一般の保型形式に対する岩澤主予想を導くことができる。
もう一つの研究では、deRham表現（より一般にdeRham (φ, Γ)加群）に対する局所イプシロン同型の構成を、deRham表現に付随するp進微分方程式という特別に良い性質を持つ(φ, Γ)加群に対する局所イプシロン同型の構成に帰着させることができるという形の定理を証明した。これについては現在石田氏と共同論文を執筆中である。この定理を、deRham表現の中でも特別に簡単なクラスであるクリスタリン表現の場合に制限するとPerrin-RiouのBig exponentialの理論と同値となる。その意味で、我々の結果は、クリスタリン表現の場合のPerrin-Riou理論の一般のdeRham表現の場合への一般化とみなすことができる。
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| 今後の研究の推進方策 |
一つ目の研究における岩澤主予想への応用（および先行結果であるGreenberg-Vatsal, Emerton-Pollack-Westonの結果）では, 考えている法pガロア表現が絶対既約かつ, (それぞれの設定における）ある種のミュー不変量が０であるという仮定が必要となる。詳しくいうと、我々においてはゼータ元が法pで消えないという仮定が必要であり, 先行結果ではp進L関数が法pで消えないという仮定が必要であり, pで通常という状況の下では後者の仮定から前者の仮定が導かれることがわかっている。よって、我々の仮定は先行結果の仮定よりも弱いが、今後はこの前者の仮定、ゼータ元の法pにおける非消滅性を示す研究を行なっていく。これに関して二つのアプローチを想定しており、一つは普遍変形の中のCM形式の場合（特に楕円単数の法p非消滅）に帰着する方法、もう一つは、Colmez-Shanwenによる加藤のゼータ元の完備コホモロジーとモジュラーシンボルを用いた具体的な表示を用いる方法である。
もう一つの局所イプシロン予想の研究では、近年のガロア表現の変形理論の代数化（Emerton-Gee理論）の進展に合わせて、局所イプシロン予想をEmerton-Geeにより構成された(φ,Γ)加群のモジュライスタック上に拡張する研究を行う。我々がこれまでに得た局所イプシロン予想では一般の結果を得るためにはクリスタリン表現の稠密性が必要であり、この結果は剰余表現が可約な場合には適応できなかった。Emerton-Geeの(φ,Γ)加群のモジュライスタックでは剰余表現を動かすことができるため、このアプローチによって従来の困難を克服できるようになると期待している。
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