有限群の表現空間と指標を用いた群の構造の研究

2019 年度 実施状況報告書

• 研究課題/領域番号: 19K03405
• 研究機関: 熊本大学
• 研究代表者: 千吉良 直紀 熊本大学, 大学院先端科学研究部(理), 准教授 (40292073)
• 研究期間 (年度): 2019-04-01 – 2022-03-31
• キーワード: 群 / 共役類 / 指標

研究実績の概要

本研究では有限群のもつ性質を表現空間と指標を用いて明らかにする。特に指標表に関する原田予想から派生する諸問題、および群が作用する格子などの代数構造を表現空間内に構成し、群の作用を明らかにすることを目的としている。
原田予想は有限群の共役類に含まれる元の個数をすべて掛けた数が有限群の既約指標の次数をすべて掛けた数で割り切れるであろうという予想である。またその類似の予想もある。この予想は単に数的な問題だけでなく、有限群の構造特にリー型の群の標数に当たる素数との関連があると思われる。また共役類の個数つまり既約指標の個数個からなる有限群の不変量の研究が重要であると思われる。
本年度は、おもに共役類の各元の中心化群の位数をすべて掛けた数と既約指標の次数をすべて掛けた数を掛けた数に注目し、共役類の個数個の不変量に関する結果を得た。具体的には指標表の行列と次数を対角に並べた行列を用いて作られるある整数行列を考える。その整数行列の単因子についてその性質を調べた。単に一般の整数行列においては単因子の数は制御されないが、我々の考えた整数行列の単因子の最大値は群の位数の2乗で抑えられるのではないかと予想していた。実際にこのことが成立することが分かった。これはこの単因子が群に非常に密接に関連する不変量になっていることを示唆している。この単因子のさらなる研究が必要であると考えている。
原田予想の数は群環の中心に定義される可換代数構造に密接に関連している。この方向で研究を進めることが良いと思わえる。

現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

原田予想に関連して共役類の元の中心化群の位数と指標の次数の総積を分割する不変量に関する予想の１つが解決した。もう1つ予想があり、そちらは原田予想の類似予想にも関連する。単因子のもつ性質の一つが分かったことはとても重要であり、今後の研究に役立つと期待できる。

今後の研究の推進方策

群環の中心と原田予想の関係を詳しく調べる必要があることが分かってきた。これは単に予想の解決にとどまらない興味深い研究に発展すると期待できる。また、原田予想の数とリー型の群の標数との関連を詳しく調べることが重要である。今後の研究の方針としてリー型の単純群にも注目し、原田予想の数や群環の中心がどのような役割を持っているかを研究していく。

次年度使用額が生じた理由

業務等により必要な出張等かいくつか出来なかった。次年度に旅費及び必要な物品購入に充て研究を推進させる。