| 研究実績の概要 |
抽象的Hodge複体と明示的Hodge複体の比較． コンパクトと限らないスムースな複素代数多様体Xとその正規交叉因子Hに対し, Beilinsonによる「抽象的」Hodge複体K(X, H)はコホモロジーH*(X, H)およびそのHodge構造を与える．他方，代表者は明示的Hodge複体E(X, H)を構成し，やはり同じコホモロジーを与える．後者はその構成要素である３つの複体を持つが, その1番目はX上の位相的チェインの複体からなる(より詳しくは，X上の位相的チェインの複体からH上の位相的チェインの複体への制限写像を定め，その錐複体として定義される．)２番目はHに対数的特異点をもつ微分形式のなす複体の双対であり，3番目はX上の微分形式の複体とH上の微分形式の複体を用いて構成される．1番目と2番目の比較擬同型はCauchy-Stokes公式を用いて構成される．
これらの二つのHodge複体をHodge複体の圏の対象として比較するという問題が自然に生ずる．Xがコンパクトの場合にK(X, H)とE(X, H)がHodge複体として同型であることを証明した．(a) そのため，古典的なde Rhamの定理のWeilによる証明においては，微分形式の複体と，位相的チェインの複体を比較するが，この証明のアイディアを反映したもう一つのHodge複体R(X, H)を導入し，K(X, H)とR(X, H)が同型であることを示せる．(b) R(X)とE(X)を比較するには，微分形式の複体から位相的コチェインの複体への自然な写像が，それぞれの積とホモトピーを除き可換であるという定理(Gugenheimによる)を適切な形で用いる．
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| 今後の研究の推進方策 |
1. ２つのHodge複体を，Xがコンパクトと限らない場合に比較する研究を行う．さらに，(a)比較同型は一意的であるかどうか，(b) (X, H)について関手的であるかどうか，(c) 比較に現れるホモトピーを明示的に書くことができるかどうか, を研究する．
2. Relative Borel-Mooreホモロジーをより一般の位相空間の対に対して考察し，Relative Borel-Mooreホモロジーの満たす性質を定式化し，証明する．
3. ２つのHodge複体の比較を，混合Tateモチーフに限定し，詳しく考察する．とくにE(X, H)から混合Hodge構造を計算する手法を確立する．
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