研究実績の概要 |
1. コンパクトでスムースな代数多様体Xと正規交叉因子Yに対し, Hodge複体E(X-Y)であって, 次の性質を満たすものを構成した. 一般にHodge複体Eは, Q-部分(フィルターづけをもつQ上の複体)と C-部分(2つのフィルターづけをもつC上の複体)およびその間の比較同型からなり,そのコホモロジーにHodge構造を与える構造物である.Deligne-Beilinsonの構成した「抽象的」Hodge複体は空間 X-YのコホモロジーのHodge構造を与える. (a) E(X-Y)のQー部分は, 空間対(X, Y)上の位相的なチェインのなす複体である(そのため計算に有用である). (b) E(X-Y)のCー部分は, XおよびY上のカレントの複体と,その間の自然な包含射を用いて記述され, ウェイトフィルターづけは自然に与えられる. (c) E(X-Y)は空間 X-YのコホモロジーのHodge構造を与える. 重要な注意として, Deligne-Beilinsonの「抽象的」Hodge複体は(a)の性質は満たさない. また上のE(X-Y)のC-部分の候補として対数的極をもつカレントの複体(J.King) をとると,それはフィルターづけを持たずHodge複体を与えない. そのため我々のHodge複体E(X-Y)の構成は新しいものであることが分かる. 2. このHodge複体E(X-Y)と, Deligne-Beilinsonによる「抽象的」Hodge複体との間に, Hodge複体としての同型を与えた(これより与えるHodge構造が同型であることも従う).そのために,(i) E(X-Y)のCー部分を層のレベルで考察し,ウェイトフィルターづけと次数による規準的フィルターづけを比較する.(ii) またE(X-Y)のCー部分を対数的微分形式の複体と比較する.
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現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
1. 本年の当初の主な目的は上記の結果を得ることでなく,その前段階の次が目的であった. (*) コンパクトでスムースな代数多様体Xと正規交叉因子Hに対し, Hodge複体E(X, H)で次の性質を満たすものを構成する. (a) E(X, H)のQ-部分は,X及びH上の位相的なチェインのなす複体であり, (b) E(X, H)のC-部分は,Hに対数的極を持つ微分形式の複体を用いて記述される. (c) E(X, H)は空間対(X, H)のコホモロジーのHodge構造を与える. この結果(*)だけでなく, 上記の結果を得ることができたため,おおむね順調であったと言える. 2. 上記の結果は層のレベルで(すなわち局所的に)定式化と議論をすることができるため,さらに一般化するにあたって見通しがつけやすくなった.
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