| 研究課題/領域番号 |
19K03422
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| 研究機関 | 京都大学 |
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研究代表者 |
稲場 道明 京都大学, 理学研究科, 准教授 (80359934)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| キーワード | 接続のモジュライ空間 / 不確定接続 / 一般モノドロミー保存変形 / シンプレクティック形式 |
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| 研究実績の概要 |
１．不分岐不確定接続のモジュライ空間上の一般モノドロミー保存変形のunfoldingの構成についての論文を完成させ、Bulletin des Sciences Mathematiquesに掲載された。射影直線上の不分岐不確定線形常微分方程式に対する一般モノドロミー保存変形は、神保・三輪・上野理論として広く知られている。これを一般種数の曲線上の不確定接続のモジュライ空間上にも拡張することができ、Boalch, Hurtubise, Inaba-Saitoなどの論文において、それぞれの文脈で構成されている。この一般モノドロミー保存変形は接続のモジュライ空間上で代数的な微分方程式を定めるが、その本来の意味は、不確定接続が定めるストークスデータ(一般モノドロミー)が一定になる部分と捉えられる。曲線上の因子の退化に対し、ストークスデータのunfolding理論がHurtubise, Lambert, Rousseauによって構築されていた。この理論に動機づけられて、確定から不確定に退化する接続のモジュライ空間の族の上で、不確定一般モノドロミー保存変形を確定接続のモジュライ空間上に拡張することを試みた。実際にはunfolded Stokes dataを一定に保つことはほぼ不可能で、因子の周りのある種のデータに応じて一般モノドロミー保存変形のunfoldingを構成する仕組みを作ることができた。今回の理論の整備に伴い、不分岐不確定接続のモジュライ空間上の一般モノドロミー保存変形が可積分条件を満たすことの見通しの良い証明も与えることができた副産物もある。
２．frame付接続のモジュライ空間上のシンプレクティック構造と、モジュライ空間上の
大域的代数関数についての、Biswas氏、光明氏、齋藤氏との共同研究を始め、概ね結果が出て、現在原稿作成中である。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
不分岐不確定接続のモジュライ空間上に、不確定一般モノドロミー保存変形のunfoldingを構成する論文を完成させ、出版することができた。Hurtubise, Lambert, Rousseauによるストークス・データのunfoldingの理論と両立する形にはならなかったものの、不確定一般モノドロミー保存変形のモジュライ理論的整備がより進み、不確定接続の方向にも、確定接続の方向にも、更なる研究を進める上での見通しのよさが得られたと思われるため、研究は順調に進んでいると考えている。
また、Biswas氏、光明氏、齋藤氏との共同研究を始め、frame付接続のモジュライ空間上のシンプレクティック形式や、確定放物接続のモジュライ空間上の大域的代数関数についての結果もほぼ出て、現在原稿作成中である。研究討論を通じて更なる研究テーマの発見にも繋がる期待も持てるため、将来の発展に向けても順調と言える。
分岐不確定接続のモジュライ空間上のシンプレクティック形式の見通し良い記述と、一般モノドロミー保存変形の構成についての研究も進み、論文の原稿の骨格はできつつあるため、こちらも順調に研究進展していると考えている。
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| 今後の研究の推進方策 |
１．Biswas氏、光明氏、齋藤氏との共同研究を進める。一つはframe付接続のモジュライ空間上のシンプレクティック形式の構成である。もう一つは、接続のモジュライ空間上の大域的代数関数のなす環の超越次数がモジュライ空間の次元の半分以下になることである。これらはほぼ結果が出て原稿を作成中であるが、論文の完成に向けた議論を詰めていく予定である。また、Biswas氏の所属するTata研究所で研究会開催の予定であり、研究討論を通じて、更なる研究テーマの発見に繋げて行くことを期待している。
２．代数曲線上の、分岐不確定接続のモジュライ空間は数年前に構成しているが、この上に一般モノドロミー保存方程式の代数的構成を行う予定である。射影直線上の自明束の上の接続の場合は、BremerとSageによって構成されているが、一般種数の場合はモジュライ空間の構成がデリケートで、全く異なる方法が必要となる。最近、光明氏によって射影直線上で階数が２の場合に、分岐不確定接続の一般モノドロミー保存変形のハミルトニアンの具体的表示を与える結果が出されているが、それを一般的定式化から支えるものとなる。この分岐不確定接続の一般モノドロミー保存変形を構成する研究についても、ほぼ結果が出て現在原稿作成中である。ただ、分岐不確定接続のモジュライの定式化にはデリケートな議論を用いていて、慎重に論理の流れを整備して原稿を作成する必要がある。分岐不確定の場合のストークスデータを保存する仕組みも丁寧に書くことにより、読み手にもわかりやすい論文の完成を目指したい。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
3月末に、Biswas氏の所属するインドのTata研究所で開催予定だった研究会に出席する予定であった。しかし、コロナウィルス感染拡大防止のためにインド入国のためのビザが停止され、その結果研究会も中止となった。このための出張旅費が使えなかったのが次年度使用額が生じた理由である。
コロナウィルスの感染拡大がいつ収束するか不明のために不確かなところはあるが、前年度中止になったTata研究所での研究会を今年度の秋に実施する計画で、その際に未使用だった助成金を使用する予定である。
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