| 研究課題/領域番号 |
19K03437
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| 研究機関 | 東北大学 |
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研究代表者 |
大野 泰生 東北大学, 理学研究科, 教授 (70330230)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| キーワード | 多重ゼータ値 / 超幾何関数 / Bernoulli数 / 一般超幾何関数 / Schur多重ゼータ値 / Schur多項式 / Jacobi-Trudi公式 / 母関数 |
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| 研究実績の概要 |
まず、Arakawa-Kaneko多重ゼータ関数とKaneko-Tsumuraの多重ゼータ関数の多項式補間として得られる t-Arakawa-Kaneko多重ゼータ関数について、一昨年度および昨年度の報告者の研究成果の現象解析的見地から研究を遂行した。一昨年度はArakawa-Kaneko多重ゼータ関数の特殊値の和公式を、超幾何関数の関係式の視点に基づき構成した母関数の議論で、成立根拠を明確にする形で導出した。昨年度はKaneko-Tsumura多重ゼータ関数の特殊値の和公式を、類似の議論から導出することに成功し、更に一般超幾何関数のもつ対称性との繋がりを捉えることに成功し、Kaneko-Tsumura多重ゼータ関数の特殊値の和の双対関係式の無限系列を、成立背景もわかる形で導出した。t-Arakawa-Kaneko多重ゼータ関数はこの2関数を自然に補間するため、超幾何関数におけるある種のパラメータ操作（補間）により、上述の和公式を統一的に導くことにより、超幾何関数の関係式の視点から2つの和公式の統一的解釈が得られるはずである。この解明に取り組み、3F2の接続公式を介した肯定的計算成果を得た。この議論においてはある種の捩れが起きていると受け取れるため今後その解消を行い、期待される整った t-和公式を解明する計画である。また、多重ゼータ値の一般化双対公式が報告者によって知られ、超幾何関数の視点での証明も追求されているが、このSchur多重ゼータ値版についてNakasujiと共同研究を行い、難解であったSchur多重ゼータ値版双対公式と一般化双対公式の解明に成功した。その中で明示的に定義したSchur版の双対インデックスと、インデックス操作において重要となるadmissible pieceの解釈はいずれも今後のこの方面の研究において幅広く役立つ概念であると考えている。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
Kaneko-TsumuraとArakawa-Kaneko型のゼータ関数は、いずれも Riemannゼータ関数の積分表示において、被積分関数をpolylogを用いて拡張することによって定義されるRimannゼータ関数の一般化である。Bernoulli数の定義が2通り存在すること、あるいは多重ゼータ値と等号付き多重ゼータ値とが存在することと合致して、この2つの多重ゼータ関数も対として自然に存在しており、現在この関数とその近縁にあたる関数の研究が目覚ましい勢いで進展している。
今年度は、t-Arakawa-Kaneko多重ゼータ関数の特殊値の和の無限系列の考察を行い成果を挙げた。この和はインデックスに付随する3つのパラメータによって特徴づけられるが、その母関数がt-多重ゼータ値のある和の母関数と一致することを導いた。tを0,1に特殊化することで一昨年度および昨年度それぞれの成果に帰着する。したがって、昨年度の双対公式の無限列の成果は別とするが、Arakawa-Kaneko型ゼータ関数の特殊値の和公式に関するこれまでの成果を、多項式補間の形で拡張した統合的成果になっている。そしてその背後に、超幾何関数の関係式の存在が突き止められており、その繋ぎ部分の捩れのみ解消すべき課題として残っている。また、同時に行った、Schur多重ゼータ値の双対公式とその一般化の成果はとても意義深いものと考える。
2年続くコロナ禍で、研究活動においても非常に大きな制限制約を受ける厳しい期間であった。実際に出張等の人の往来はほとんど行えず、研究において重要な、対面による情報収集もディスカッションも講演もほぼできない中であったが、オンラインでの成果講演やオンラインでの定期的研究連絡を行い、またオンライン研究集会と年度末には対面の研究集会を多数企画主催するなど、活発な研究交流の維持に尽力した。
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| 今後の研究の推進方策 |
先に述べたように、一昨年度のArakawa-Kaneko多重ゼータ関数の特殊値の和公式の解明と、その一般超幾何関数を背景とした現象解説的な証明があり、それを礎石として昨年度は、まず、Kaneko-Tsumura多重ゼータ関数の特殊値の和公式の一般超幾何関数を背景とした導出に発展させた。さらにそれを土台として、Kaneko-Tsumuraゼータ関数の特殊値の双対関係式を大きく一般化させた、Kaneko-Tsumura多重ゼータ関数の特殊値の和の双対関係式の無限列を一般超幾何関数を背景として、母関数におけるパラメータ変換を通した対称性として証明した。今年度はt補間されたArakawa-Kanekoゼータ関数において、これらの和公式の補間を粗削りな形で得た。今後はこの成果を捩れのない自然な形に整えることと、それらの背景にある一般超幾何関数において、自由度を残すパラメータのもつ可能性の探求を行う。また、この方針を含めて、Yamamotoによる補間多重ゼータ値の研究とその豊かな性質が有用になると考えられる。他方、Schur多重ゼータ値も補間多重ゼータ値と捉えることが可能であり、今年度はその双対公式とその一般化の解明に成功した。今後はこの現象を超幾何関数の関係式の文脈で解釈することに取り組むために、まず、複素1変数化することに取り組む。また、一般超幾何関数側で既に知られている関係式を用いて多重ゼータ値の構造を解明する研究の進展も目指す。この課題においては、特異点に対する幾何学的な視点が重要となり、合流型関係式の枠組みが役に立つ可能性があると考えている。
コロナ禍の通過を待って、既に2年余大幅に抑制されている対面での研究連絡を多方面で再開し、海外渡航や海外からの研究者招へいも可能な範囲で積極的に行いたい。そうして企画・開催される研究集会にて、蓄積された成果の発表も遂行していく計画である。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
昨年度に引き続き新型コロナウィルス感染症の感染拡大防止のためおよび度重なる蔓延の危機感からの様々な行動制限や自粛を要請され、予定していた研究集会開催や物品購入計画、研究者招へい計画、および海外を含む研究出張の予定をキャンセルとし、次年度使用額が生じた。感染症の問題が解消に向かい制限緩和された後に、当初予定の計画になるべく沿うように研究集会開催や招へい、出張および物品購入等を進め、延期している海外渡航計画についても実行するために当該次年度使用額を用いたいと考えている。
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