2023 年度研究成果報告書

クラスター代数を用いた点付きリーマン面および組合せ論的表現論の研究

研究課題

PDF

研究課題/領域番号	19K03440
研究種目	基盤研究(C)
配分区分	基金
応募区分	一般
審査区分	小区分11010:代数学関連
研究機関	千葉大学
研究代表者	山崎玲 (井上玲) 千葉大学, 大学院理学研究院, 教授 (30431901)
研究期間 (年度)	2019-04-01 – 2024-03-31
キーワード	クラスター代数 / タイヒミュラー空間 / ワイル群 / 量子群 / q指標 / 四面体方程式
研究成果の概要	クラスター代数の表現論、可積分系への応用について研究を行った。有限次元単純Lie環gと正整数mに対してm周期的な箙を定義し、この箙の変異を用いてgのワイル群を構成した。特にqが1の冪根の場合、gに付随する量子群のq指標を含む有理関数体のうちこのワイル群作用で不変な部分を明らかにした。2020、2021年度はコロナ禍で予定していた研究活動が大きな制約を受けたが、2022年度以降は研究活動が徐々に回復し、多くの研究成果発表を行った。研究期間延長後の2023年度は3次元可積分系への応用という新しい課題に取り組み、四面体方程式と3次元反射方程式で大きな成果をあげた。
自由記述の分野	数理物理学、可積分系
研究成果の学術的意義や社会的意義	クラスター代数の表現論、3次元可積分系への新しい応用を見つけたことが本研究の大きな学術的意義である。本研究で構成したワイル群のクラスター代数による実現は、表現論だけでなくタイヒミュラー空間や可積分系でも様々な応用が見つかっている。このワイル群の実現はアフィンLie環の場合に拡張することができ、さらなる発展が期待される。3次元可積分系へのクラスター代数の応用は、これまで発見的に構成されていた四面体方程式と3次元方程式の様々な解を統一的に扱う可能性をもった新しい手法である。