可換ネーター環の加群圏と導来圏における生成問題

2020 年度 実施状況報告書

• 研究課題/領域番号: 19K03443
• 研究機関: 名古屋大学
• 研究代表者: 高橋 亮 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 准教授 (40447719)
• 研究期間 (年度): 2019-04-01 – 2022-03-31
• キーワード: 加群圏 / 分解部分圏 / 導来圏 / 特異圏 / 可換ネーター環 / 反変有限部分圏 / アーベル圏 / 節減次元

研究実績の概要

2020年度は以下の６件の研究を行った。（１）Moderate関数という可換環のSpec上の自然数値関数を考案し、加群圏の支配的分解部分圏の完全分類を非常に弱い仮定をみたす任意の可換ネーター環に対して与えた。これは、2015年にIMRNに出版したDao氏との共著論文で与えたCohen-Macaulay環上の支配的分解部分圏の分類を包括する内容である。（２）非自明な分解部分圏の共通部分がいつ非自明になるかという素朴な問題を調べた。そして、そのような完全交差環は超曲面に他ならないことを示し、TorとExtの消滅の自明性と密接な関係にあることを突き止めた。さらにその結果を加群圏の有界導来圏および特異圏に応用し、非自明なthick部分圏の共通部分の非自明性に関する結果を得た。（３）アーベル圏の反変有限部分圏の有限表示加群圏がアーベル圏になるのは古典的事実であるが、それの逆がいつ成り立つのかを可換ネーター局所環の有限生成加群圏の分解部分圏に対して調べ、肯定的解答および否定的解答を多く得た。（４）カンザス大学のDey氏との共同研究で、Auslander-Bridger理論において主役を担うnねじれ自由加群のなす部分圏の構造を調べた。nシジジー加群のなす部分圏およびSerreのS_n条件をみたす加群のなす部分圏と結び付け、各種の閉性を論じ、環の構造との関連を調べた。（５）同じくDey氏と行った共同研究で、2015年にForum Math. Sigmaに出版したDao氏との共著論文で示した孤立特異点（つまり環の特異軌跡が0次元）の特徴付けを高次元化する結果を得た。（６）岡山理科大学の荒谷氏との共同研究で、(m,n)ねじれ自由加群の特徴付けを与え、全反射加群および節減Gorenstein次元に応用した。そして上節減次元の概念を導入し、完全交差環およびAB環との関係を調べた。

現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

「研究実績の概要」で述べたことはいずれも研究題目そのものに関する研究成果であるか、研究題目と密接に関係する研究成果である。

今後の研究の推進方策

今後も可換ネーター環の加群圏と導来圏における生成問題に取り組んでいく。2020年度はより基本的である加群圏における生成問題を重点的に行い非常に多くの知見を得たので、2021年度も引き続きこの方針で研究を進めていく。

次年度使用額が生じた理由

コロナ禍の影響により、予定していた国内外の出張がすべてキャンセルとなったため。

研究成果

• [国際共同研究] University of Kansas(米国)
  • 国名: 米国
  • 外国機関名: University of Kansas
• [雑誌論文] Spanier-Whitehead categories of resolving subcategories and comparison with singularity categories (2022)
  • 著者名/発表者名: Abdolnaser Bahlekeh; Shokrollah Salarian; Ryo Takahashi; Zahra Toosi
  • 雑誌名: Algebras and Representation Theory 巻: 25 ページ: 595--613
  • DOI: 10.1007/s10468-021-10037-x
  • 査読あり / 国際共著
• [雑誌論文] Filtrations in module categories, derived categories and prime spectra (2022)
  • 著者名/発表者名: Hiroki Matsui; Ryo Takahashi
  • 雑誌名: International Mathematics Research Notices. IMRN 巻: 2022 ページ: 3457--3492
  • DOI: 10.1093/imrn/rnaa284
  • 査読あり
• [雑誌論文] Powers of the maximal ideal and vanishing of (co)homology (2021)
  • 著者名/発表者名: Olgur Celikbas; Ryo Takahashi
  • 雑誌名: Glasgow Mathematical Journal 巻: 63 ページ: 1--5
  • DOI: 10.1017/S0017089519000466
  • 査読あり / 国際共著
• [雑誌論文] Trace ideals of canonical modules, annihilators of Ext modules, and classes of rings close to being Gorenstein (2021)
  • 著者名/発表者名: Hailong Dao; Toshinori Kobayashi; Ryo Takahashi
  • 雑誌名: Journal of Pure and Applied Algebra 巻: 225 ページ: 106655, 18 pp
  • DOI: 10.1016/j.jpaa.2020.106655
  • 査読あり / 国際共著
• [雑誌論文] Cohomological dimensions of specialization-closed subsets and subcategories of modules (2021)
  • 著者名/発表者名: Hiroki Matsui; Tran Tuan Nam; Ryo Takahashi; Nguyen Minh Tri; Do Ngoc Yen
  • 雑誌名: Proceedings of the American Mathematical Society 巻: 149 ページ: 481--496
  • DOI: 10.1090/proc/15102
  • 査読あり / 国際共著
• [雑誌論文] The Jacobian ideal of a commutative ring and annihilators of cohomology (2021)
  • 著者名/発表者名: Srikanth B. Iyengar; Ryo Takahashi
  • 雑誌名: Journal of Algebra 巻: 571 ページ: 280--296
  • DOI: 10.1016/j.jalgebra.2018.07.034
  • 査読あり / 国際共著
• [雑誌論文] Homogeneous prime elements in normal two-dimensional graded rings (2021)
  • 著者名/発表者名: Anurag Singh; Ryo Takahashi; Kei-ichi Watanabe
  • 雑誌名: Journal of Algebra 巻: 571 ページ: 339--349
  • DOI: 10.1016/j.jalgebra.2018.07.012
  • 査読あり / 国際共著
• [雑誌論文] Resolving subcategories closed under certain operations and a conjecture of Dao and Takahashi (2021)
  • 著者名/発表者名: Arash Sadeghi; Ryo Takahashi
  • 雑誌名: Michigan Mathematical Journal 巻: 70 ページ: 341--367
  • DOI: 10.1307/mmj/1592359276
  • 査読あり / 国際共著
• [雑誌論文] Some criteria for detecting large homomorphisms of local rings (2021)
  • 著者名/発表者名: Mohsen Gheibi; Ryo Takahashi
  • 雑誌名: Communications in Algebra 巻: 49 ページ: 3490--3500
  • DOI: 10.1080/00927872.2021.1899194
  • 査読あり / 国際共著
• [雑誌論文] Quasi-projective dimension (2021)
  • 著者名/発表者名: David A. Jorgensen; Mohsen Gheibi; Ryo Takahashi
  • 雑誌名: Pacific Journal of Mathematics 巻: 312 ページ: 113--147
  • DOI: 10.2140/pjm.2021.312.113
  • 査読あり / 国際共著
• [雑誌論文] Grothendieck groups, convex cones and maximal Cohen-Macaulay points (2021)
  • 著者名/発表者名: Ryo Takahashi
  • 雑誌名: Mathematische Zeitschrift 巻: 299 ページ: 53--82
  • DOI: 10.1007/s00209-020-02685-4
  • 査読あり
• [雑誌論文] Resolving subcategories whose finitely presented module categories are abelian (2021)
  • 著者名/発表者名: Ryo Takahashi
  • 雑誌名: Comptes Rendus Math?matique. Acad?mie des Sciences. Paris 巻: 0 ページ: 0
  • 査読あり
• [雑誌論文] On the radius of the category of extensions of matrix factorizations (2020)
  • 著者名/発表者名: Kaori Shimada; Ryo Takahashi
  • 雑誌名: Journal of Algebra 巻: 546 ページ: 566--579
  • DOI: 10.1016/j.jalgebra.2019.10.054
  • 査読あり
• [雑誌論文] Maximal Cohen-Macaulay modules that are not locally free on the punctured spectrum (2020)
  • 著者名/発表者名: Toshinori Kobayashi; Justin Lyle; Ryo Takahashi
  • 雑誌名: Journal of Pure and Applied Algebra 巻: 224 ページ: 106311, 29 pp.
  • DOI: 10.1016/j.jpaa.2020.106311
  • 査読あり / 国際共著
• [雑誌論文] Local rings with quasi-decomposable maximal ideal (2020)
  • 著者名/発表者名: Saeed Nasseh; Ryo Takahashi
  • 雑誌名: Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 巻: 168 ページ: 305--322
  • DOI: 10.1017/S0305004118000695
  • 査読あり / 国際共著
• [雑誌論文] A topology on the set of isomorphism classes of maximal Cohen-Macaulay modules (2020)
  • 著者名/発表者名: Naoya Hiramatsu; Ryo Takahashi
  • 雑誌名: Proceedings of the American Mathematical Society 巻: 148 ページ: 2359--2369
  • DOI: 10.1090/proc/14965
  • 査読あり
• [雑誌論文] Little dimension and the improved new intersection theorem (2020)
  • 著者名/発表者名: Tsutomu Nakamura; Ryo Takahashi; Siamak Yassemi
  • 雑誌名: Mathematica Scandinavica 巻: 126 ページ: 209--220
  • DOI: 10.7146/math.scand.a-119740
  • 査読あり / 国際共著
• [雑誌論文] Gorenstein modifications and Q-Gorenstein rings (2020)
  • 著者名/発表者名: Hailong Dao; Osamu Iyama; Ryo Takahashi; Michael Wemyss
  • 雑誌名: Journal of Algebraic Geometry 巻: 29 ページ: 729--751
  • DOI: 10.1090/jag/760
  • 査読あり / 国際共著
• [雑誌論文] Construction of spectra of triangulated categories and applications to commutative rings (2020)
  • 著者名/発表者名: Hiroki Matsui; Ryo Takahashi
  • 雑誌名: Journal of Mathematical Society of Japan 巻: 72 ページ: 1283--1307
  • DOI: 10.2969/jmsj/82868286
  • 査読あり
• [雑誌論文] Burch ideals and Burch rings (2020)
  • 著者名/発表者名: Hailong Dao; Toshinori Kobayashi; Ryo Takahashi
  • 雑誌名: Algebra and Number Theory 巻: 14 ページ: 2121--2150
  • DOI: 10.2140/ant.2020.14.2121
  • 査読あり / 国際共著
• [雑誌論文] Flat ring epimorphisms and universal localizations of commutative rings (2020)
  • 著者名/発表者名: Lidia Angeleri Hogel; Frederik Marks; Jan Stovicek; Ryo Takahashi; Jorge Vitoria
  • 雑誌名: The Quarterly Journal of Mathematics 巻: 71 ページ: 1489--1520
  • DOI: 10.1093/qmath/haaa041
  • 査読あり / 国際共著
• [学会発表] Subcategories of module/derived categories and subsets of Zariski spectra (2021)
  • 著者名/発表者名: Hiroki Matsui; Ryo Takahashi
  • 学会等名: AMS Spring Eastern Sectional Meeting (formerly at Brown University), Special Session on Commutative Algebra, Virtual
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] 可換環の加群圏の分解部分圏 (2021)
  • 著者名/発表者名: 高橋 亮
  • 学会等名: 名古屋大学多元数理科学研究科談話会, Zoom
  • 招待講演
• [学会発表] Quasi-Projective Dimension (2020)
  • 著者名/発表者名: Mohsen Gheibi; David A. Jorgensen; Ryo Takahashi
  • 学会等名: A Zoom Special Session on DG Methods in Commutative Algebra and Representation Theory (AMS Fresno replacement)
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] 可換環の加群圏と導来圏における生成問題 (2020)
  • 著者名/発表者名: 高橋 亮
  • 学会等名: 2020年度(第23回)日本数学会代数学賞受賞特別講演, 日本数学会秋季総合分科会, オンライン開催
  • 招待講演
• [学会発表] 加群圏の分解核とTor/Extの消滅の自明性 (2020)
  • 著者名/発表者名: 高橋 亮
  • 学会等名: 可換環論オンラインワークショップ, Zoom
  • 招待講演
• [学会発表] Getting a module from another and classifying resolving subcategories (2020)
  • 著者名/発表者名: Ryo Takahashi
  • 学会等名: IIT Bombay Virtual Commutative Algebra seminars, Google Meet
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Building modules by direct summands, extensions and syzygies (2020)
  • 著者名/発表者名: 高橋 亮
  • 学会等名: OCAMI代数セミナー, Zoom
  • 招待講演
• [備考] Ryo Takahashi
  • URL: https://www.math.nagoya-u.ac.jp/~takahashi/