| 研究実績の概要 |
正則一様なハイパーグラフの隣接行列とは，頂点集合で添え字づけられる行列で，その(u,v)成分は，u,vを含む辺の個数で定義される．ハイパーグラフの固有値とは，この隣接行列の固有値のことである（ハイパーグラフの固有値については他の定義の方法もある）．線形計画限界とは，異なる固有値の値から，ハイパーグラフの頂点数の上界を与える手法である．Jack Koolen（University of Science and Technology of China），Sebastian M. Cioaba(University of Delaware)，Takayuki Okuda(広島大)，Masato Mimura（東北大）との共同研究として，ハイパーグラフの線形計画限界を用いて，以下のように既存の結果を改善した．Feng-Li(1996)は正則一様なハイパーグラフの第二固有値（二番目に大きい固有値）をある値以下としたとき，直径に対して上界を与えた．直径の上界を得ると，Mooreの上界から頂点数の上界が得られる．本研究では，同じ第二固有値の条件に対して，線形計画限界を適用して得られる頂点数の上界が，Feng-Li (1996)が与えた上界より良いことを示した．また，Dinitz-Schapira-Shahaf(2020)で与えられている，正則グラフの固有値と直径を用いたMooreの上界の改善に対して，正則一様なハイパーグラフへの一般化と，ある種の部分的な結果の改善を行った．また，r,uを固定し，r-正則，u-一様なハイパーグラフの中で，第二固有値tを具体的に固定し，最大頂点数を持つグラフを決定する問題に対して（その様なグラフでは，ある種の良い連結性が保証される），いくつかのタイプの(r,u,t)に対して最大なグラフを決定した．
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