| 研究課題/領域番号 |
19K03446
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| 研究機関 | 関西大学 |
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研究代表者 |
今野 一宏 関西大学, 総合情報学部, 教授 (10186869)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| キーワード | 一般型代数曲面 / 標準写像 / 正規特異点 |
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| 研究実績の概要 |
複素数体上で定義された極小な非特異射影曲面は, その標準写像が像の上に双有理であるときに標準曲面であるという. 本研究の目的は, 正規標準曲面すなわち, 標準写像による像（標準像）が正規曲面であるような標準曲面の幾何構造を，標準像のもつ特異点との関連において研究することである．
研究の初年度であることから，主に資料収集に相当する作業に時間と労力を割き，幾何種数４で６次の正規標準曲面を集中的に考察した．まず，古典的名著であるエンリケスの本の第８章で提案されている方法に従って，実際に標準曲面の例を構成することができるかどうかを検証した．この方針で構成された代数曲面が指定された数値不変量をもつことはほぼ自明だが，その標準写像が双有理か否かを確認することは容易ではないことを付け加えておく．紆余曲折を経て，標準因子の自己交点数が６と７の場合には複数の具体例を構成することができた．
また，幾何種数４で正規標準曲面の存在が知られていない標準因子の自己交点数が10と11の場合に対して，具体例を構成し得る可能性が高い新たな方法を2種類提示した．ひとつは基本的に上述のエンリケスの方針を精密化したもので，標準随伴系の記述が複雑になり過ぎないように，用いる楕円型特異点の選び方を工夫した．もうひとつは３次曲面の２重被覆として得られる非標準曲面の変形として構成するものである．分岐因子の望まれる性質を抽出する困難を除けば，その変形は次数の比較的小さい連立方程式によって制御可能なので，具体性に乏しいわけではない．このように，構成の方針を提示することはできたが，実行には困難が伴い，まだ具体例は得られていない．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
上の「研究実績の概要」欄でも述べたように，新たな正規標準曲面の例を構成できる可能性のある具体的な手段を2種類見出したが，残念ながら現在までいずれのものも成功を収めていないことから，進捗状況の区分は「やや遅れている」とせざるを得ない．
目標の数値不変量を実現するための特異点の幾何種数の組み合わせは限定的だが，超曲面特異点でありしかも「扱いが容易でなければならない」という条件を加味すると更に制限が付き自由度は低い．現在のところ得られた代数曲面は，標準写像が像の上に双有理にならないか，そういったことを判定することが非常に困難なものになってしまっている．標準随伴系が３次元射影空間の双有理写像を誘導するとは限らないからである．これは他の文献には見られない現象であり，それ自体が大変興味深いが，目標に対する大きな障害になっている．
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| 今後の研究の推進方策 |
従来の方針に従うならば，特異点の種類，個数，位置を変更することがまず考えられる．
標準写像の双有理性を示すところが最大の難点であるから，より限定した種類の特異点を用いるようにし，また，定義方程式の書き方にもなお一層の工夫が必要である．有限群の作用で移りあうような対称性が高い位置に特異点を置くことで，この困難を克服できないか検討したい．次年度は基本的にこの方針で考察を進める．
二つの方法のうち，より可能性が高いと思われるのは２重被覆を用いる方法である．こちらは分岐因子という代数曲線の特異点に問題を還元できるという利点である．ただし，有理２重点をもつ３次曲面の分岐被覆をも考える必要が生じるであろう．３次曲面を射影直線上の相対２次曲線として実現し，非特異な場合をも統一して扱う方針をとる．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
世界的な新型コロナウィルスを病原とする肺炎の流行によって，ヨーロッパ（ドイツ）で2020年3月に開催予定だった研究集会が急遽中止となり，それに参加するための渡航費・宿泊費を使用できなかった．流行が下火になれば，次年度使用額については同様の目的で使用する計画である．
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