| 研究課題/領域番号 |
19K03446
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| 研究機関 | 関西大学 |
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研究代表者 |
今野 一宏 関西大学, 総合情報学部, 教授 (10186869)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| キーワード | 一般型代数曲面 / 標準写像 / 正規特異点 |
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| 研究実績の概要 |
複素数体上で定義された極小な非特異射影代数曲面は，標準写像が像（標準像）の上に双有理であるときに標準曲面であるという．本研究の目的は標準像が正規曲面であるような標準曲面の幾何学的な構造を，標準像がもつ特異点との関連で研究することにある．
幾何種数４で標準像の次数が６であるようなものは申請者の研究でかなりの部分が明らかになっている．しかしvolume（標準束の自己交点数）が10と11になる例は知られておらず，その具体例を構成することが当面の目標である．
幾何種数４の正規標準曲面を構成するための有力な方法のひとつは，３次曲面の２重被覆で得られる代数曲面の変形を考察することであることが，昨年度の研究および村上雅亮氏（鹿児島大）が構成したvolume ９の例からわかったので，今年度はその発想をより一般化して楕円曲面の分岐2重被覆およびその微小変形を考察した．3次曲面自身は楕円曲面の構造を持たないが，その3点ブロー・アップは有理楕円曲面だからである．今年度は２重楕円曲面に現れる特異点を楕円的なものに限定するよう工夫し，多くの標準曲面の具体例を構成した．しかし，標準像の正規性を判定することは思いのほか困難であり，うまく判定できる場合であっても目指すvolumeをもつ曲面は残念ながら発見できなかった．
新型コロナウイルスを病原とする肺炎の流行によって，他の研究者と直接会って議論するという研究形態をとることは不可能だった．その欠点を補うために，Zoom等による遠隔開催の研究集会「代数曲面ワークショップ」を徳永浩雄氏（東京都立大）と共催した他，全国の研究協力者と月１回程度の頻度でオンラインセミナーを行って議論した．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
種数４の標準曲面を大量に構成する方法を見つけ，存在が知られているvolumeをもつ正規標準曲面を，射影平面の巡回６次被覆を用いる既知の方法とは全く異なる発想に基づく方針で構成することができた．また，幾何種数の大きな楕円型特異点で２重楕円曲面を構成しても，それを変形する過程で特異点のモース化が起こり，結局は幾何種数１の特異点を複数用いて構成することと等価になった．漠然と予想していたことだが，このような基本的事実を検証できたことの意味は小さくない．このことを含めて徐々に有意な知見が獲得されており，得られた例を突破口として本来の目的に沿った具体例が発見できる可能性が大きくなった．従って，研究の進捗に関しては昨年度に生じた若干の遅れを取り戻すことができたと考える．
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| 今後の研究の推進方策 |
目的を達成する具体例の構成には未だ成功していないので，引き続き楕円曲面の分岐２重被覆を変形する方法を用いて幾何種数４の新しい正規標準曲面の構成を試みる．構成には必然的に非有理的な２重点が必要だが，今後は楕円型特異点の他にどのような２重点が有効であるかをさらに吟味し考察する．非超楕円的な種数３曲線束のアトミック・ファイバーに現れた種数２の偶特異点はひとつの有力候補である．一方で，曲面に限定せず，高次元化を視野に入れる．高次元の場合にも巡回分岐被覆を使って，E.Stagnaroが正規標準曲面と類似の面白い性質をもつ一般型代数多様体を構成している．我々の方法を一般化し，例えば楕円曲面をK3ファイバー空間に置き換えて，新しい３次元多様体の構成法を見出したい．
また，対面のセミナーが難しい場合でもオンラインセミナー等での情報交換を盛んに行い，資料収集や成果発表に繋げたい．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
新型コロナウイルスの流行により，資料収集や成果発表のための旅費として使用する目的で申請していた研究費が全く使用できず，研究協力者との研究交流はZoomなどを利用した遠隔での研究会やセミナーになった．予定されていた研究集会が中止になり，それに参加するための外国旅費を物品購入に振り替えて使用したため，誤差による次年度使用額が発生した．金額としては２万円強であるが，次年度予算と併せてできる限り当初の研究計画に沿った使用に努めるつもりである．旅費を使えない状態が継続する場合には今年度と同様の代替措置を講じざるを得ない．具体的には，成果発表のための遠隔セミナーに用いる物品をさらに購入することを考えている．
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