| 研究課題/領域番号 |
19K03448
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| 研究機関 | 岡山大学 |
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研究代表者 |
吉野 雄二 岡山大学, 自然科学研究科, 特命教授 (00135302)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| キーワード | DG代数およびDG加群 / ホモトピー圏 / 導来圏 / シジジー / ホモロジー代数 / 三角圏 / Cohen-Macaulay加群 |
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| 研究実績の概要 |
可換ネータ環上のホモロジー代数をより一般なDG加群のホモロジー理論の一端として捉えて、可換環上の加群の理論をDG加群という大きな枠組みの中で研究することが本研究の独自な方針である。特に可換環上の加群に関する基本問題として現在まで未解決のまま残っているAuslander-Reiten予想を、DG加群の持ち上げ問題という視点から考察をしてきた。
可換環のテイト分解として得られるような強可換DG代数に関して、その上のDG加群の持ち上げ問題を議論し多数の基本的成果が本研究によって得られている。
与えられたDG代数上一変数の自由拡大となる強可換DG代数の上のDG加群の持ち上げについては、添加される変数が奇数次数のときには、研究代表者とSaeed Nasseh氏による共同研究(J. Algebra (2018)) で明らかにされていたが、これに付け加えて、添加される変数が偶数次数のときにも予想される結果が証明され、研究代表者と小野舞子氏の共著として発表された。(J. Algebra (2021)).
上記の二つの発表論文は, John Tateの仕事を参考に、持ち上げの障害類を j-operator を使って表示することによってなされたのだが、昨年度はこの二つの論文の内容を統合した新しい理論を構築し、添加する変数の次数に依らない証明を発見した。更にこのアイデアを深く考察し直してnaive liftingという新しい概念に至った。この naive lifting 理論は、研究代表者と上記の二人の共同研究者との共著の形で一連の研究が進行中である。最初の成果としては一変数のとき成立する持ち上げ定理が、有限変数の自由拡大または有限変数の多項式拡大においてもnaiveな持ち上げの意味で成立することが証明できた。(Math.Z., 301 (2022), 1191-1210).
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
DG加群の持ち上げ問題に関して、naive lifting 理論という独自な、新しい理論構成に至った。いくつかの基本的成果はすでに得られているが、それにもまして新しい展望を得ることができたことは当初の予想以上のことである。
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| 今後の研究の推進方策 |
最近の研究で、強可換DG代数上のDG加群のnaive liftingの障害類が、DG加群に付随する接続（connection）から定まるAtiyah 類と一致することがわかった。(arXiv:2109.00607)
これは我々のnaive lifting理論が、単に可換代数の範囲に止まらず非可換幾何学とも関連することを示唆している。 今後は幾何学的見地も取り入れて研究を行いたいが、主題であったAuslander-Reiten予想の解決につながる理論構成を目指すことに変わりはない。
経費については、共同研究者との研究打ち合わせのための出張や研究成果発表および意見の聴取を目的とした学会・研究集会への参加に係る諸費用およびオンライン機器の充実のためにほぼ全額を使用する。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
COVID-19パンデミックのために、予定していた国内及び海外の出張がすべて取りやめになった。
パンデミック終了後には、研究打ち合わせや研究会出席などの出張を再開するつもりである。
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