2022 年度研究成果報告書

有限群の表現とAuslander-Reiten有向グラフ

研究課題

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研究課題/領域番号	19K03451
研究種目	基盤研究(C)
配分区分	基金
応募区分	一般
審査区分	小区分11010:代数学関連
研究機関	名古屋市立大学
研究代表者	河田成人名古屋市立大学, 大学院理学研究科, 教授 (50195103)
研究期間 (年度)	2019-04-01 – 2023-03-31
キーワード	有限群 / 表現論 / Auslander-Reiten有向グラフ
研究成果の概要	有限群Gの完備離散付値環上の群環の整数表現におけるAuslander-Reiten有向グラフを研究した。特に、Gのp-部分群Qをヴァーテックスに持つScott加群SのAuslander-Reiten連結成分に属する直既約加群のヴァーテックスはQまたはQの正規化群のSylow部分群であることを示した。また、Sの概分裂短完全列に直既約加群Lをテンサーした短完全列が概分裂となるのは、Lがvirtually irreducibleであるときに限ることを示した。さらに、Lがvirtually irreducibleである必要十分条件は、LとLの双対加群のテンサー積にSが重複度１で現れることを証明した。
自由記述の分野	有限群の表現論
研究成果の学術的意義や社会的意義	有限群を基底とした線形空間に、群として本来持つ乗法を反映させて構成される群多元環は、群の構造を研究するために役立つとともに、対称多元環としてとても重要な多元環である。本研究では、多元環の表現論で駆使されているAuslander-Reiten理論を利用することによって、有限群の整数表現において重要な役割を果たすScott表現加群やvirtually irreducible表現加群についてテンサー積と関連させた興味深い結果を得た。このことは、有限群の表現においてAuslander-Reiten理論の新たな活用方法を見出すことが期待できる。