| 研究課題/領域番号 |
19K03460
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| 研究機関 | 秋田大学 |
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研究代表者 |
中江 康晴 秋田大学, 理工学研究科, 講師 (80506741)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2022-03-31
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| キーワード | L-space予想 / 左順序付け可能性 / トーラス束結び目 / アノソフ流 |
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| 研究実績の概要 |
本研究課題の目的は, 3次元多様体の位相的性質をよく表すトート葉層構造の存在とその基本群の左順序付け可能性の関係を, Boyer, Gordon, Watsonらによって提示されたL空間予想と合わせて研究することである。本研究課題では特に, 3次元多様体内の結び目や絡み目に沿ったデーン手術により得られる新たな多様体における, トート葉層構造の存在やその基本群の左順序付け可能性に着目して研究を行なっている.
昨年度, 共同研究者の市原一裕氏と共に, レンズ空間内の一つ穴あきトーラス束を持つ結び目に沿った整数デーン手術で得られる左順序付け可能な基本群を持つ閉３次元多様体が得られるための条件について, アノソフ流の手術の観点から研究し, その結果を学術雑誌に投稿したが, これを査読者の指示に従って修正を行うことで, 今年度に受理された. この論文は来年度内には出版される予定である. またこの成果に関して, 日本数学会の秋季総合分科会, 東京女子大学トポロジーセミナーで発表を行った.
上記の研究はBakerによるレンズ空間内の一つ穴あきトーラス束を持つ結び目の位相同型による完全な分類に従ったものであるが、モノドロミーが2よりも大きくなるものではないものに対しての考察を行った. また特に, Kirbyの問題集にあるレンズ空間L(5,1)内の一つ穴あきトーラス束結び目と上記論文で得られた結果が対応することと、その結び目のモノドロミー行列がKirbyのものと共役であることを確かめた. さらに, 森元によるレンズ空間内の一つ穴あきトーラス結び目の存在の論文におけるモノドロミー行列が, 同様に上記論文で得られた結果と部分的に対応し, 上記論文のモノドロミー行列と共役であることを確かめた.
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
本研究課題の研究における手法は, (1)トート葉層構造を具体的に構成する, (2)基本群が左順序付け可能になるための条件を得る, (3)基本群が左順序付け可能にならないための条件を得る, の3点を主眼に置いている。
今年度は(2)の目的を達成する論文の投稿を受けて, それをさらに発展させるための, ８の字結び目補空間におけるアノソフ流の閉軌道に沿った手術の列と, それによって得られる閉３次元多様体の性質についての考察を行う予定であったが, 新型コロナウィルス感染症の蔓延により, 移動が著しく制限されたたため, 共同研究者との研究連絡や, 研究集会などへの参加が十分にできず, 予定通りの研究を行うことができなかった. また同様の理由により, 本務校における講義などのオンライン化による業務量の増加、さらには今年度に限定された業務の割り当てにより, 十分な研究時間の確保ができなかったため, 当初の予定通りの研究を進めることができなかった.
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| 今後の研究の推進方策 |
今年度に受理された論文における成果である, レンズ空間内の一つ穴あきトーラス束結び目のモノドロミー行列について, 森元の結果との比較, 特に行列のSL2(Z)共役について研究を進める.
８の字結び目に沿った手術ではL-spaceが得られないことから, それらから得られる閉３次元多様体の基本群は左順序付け可能であることがL-space予想から期待される. このことについて, 最近発表されたZungのプレプリントの結果との比較を行い, 補空間内にあるアノソフ流の無限個の閉軌道に沿った整数手術で得られる多様体の列との関連を研究する. その際に, 補空間内の閉軌道を図式化するテンプレート理論を用いることを検討する.
さらに, アノソフ流による安定・不安定葉層構造と, それらに横断的に交わる曲面束の変形によって得られる葉層構造により, 閉３次元多様体内に横断的に交わる葉層構造の三つ組ができるので, 以前から研究されている三つ組葉層構造との関連性, そしてそれら葉層構造の接束のオイラー類を用いた閉３次元多様体の基本群の左順序付け可能性について, BoyerとHuの結果を用いて研究を行う.
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| 次年度使用額が生じた理由 |
研究遂行のため関連する研究集会に参加し, 共同研究者やその他研究者との議論を行なったり, 前年度の研究成果を発表する予定であったが, 新型コロナウィルス感染症の蔓延により移動が著しく制限され, 出張が行えなかったため旅費として予定した予算を使用することができなかった.
次年度は状況の改善により国内外への出張を行うことを計画し, またコンピュータによる計算を進めるために, さらなる数式処理ソフト等の購入を行う.
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