| 研究課題/領域番号 |
19K03466
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| 研究機関 | 神戸大学 |
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研究代表者 |
佐藤 進 神戸大学, 理学研究科, 教授 (90345009)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2022-03-31
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| キーワード | 曲面結び目 / ２次元結び目 / ３重点数 / 仮想結び目 / ねじれ多項式 / 奇ねじれ数 / クシイ変形 |
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| 研究実績の概要 |
閉曲面の４次元ユークリッド空間への埋め込みを曲面結び目といい、特に２次元球面の埋め込みを２次元結び目という。また、曲面結び目の３次元ユークリッド空間への射影による結び目図式における３重点の個数の最小値を曲面結び目の３重点数という。曲面結び目の３重点数による分類は曲面結び目理論における基本的問題である。本年度の主たる結果のひとつが「２次元結び目の３重点数が４であるための必要十分条件は２ツイストスパン三葉結び目とリボンコンコーダントである」ことである。これにより２次元結び目の３重点数４以下の表が（リボンコンコーダントを除いて）完成したことになる。
次に大きく進展した研究が、曲面結び目理論と関連する仮想結び目の不変量についてである。仮想結び目を向き付けられた閉曲面上の結び目図式をライデマイスター変形で割った同値類とみなす。仮想結び目の基本的不変量のひとつに、ねじれ多項式がある。これは結び目図式の各交点が定めるサイクルと図式全体との交差数を指数とし、交点の符号を係数にもつものの総和として定義される。本年度はその高次化として、２つの交点が定めるサイクルの交差数を指数とし、交点の符号の積を係数にもつものの総和を４種類考え、それらのライデマイスター変形による変化を詳しく調べることにより、本質的に２種類の仮想結び目の不変量を発見した。この２種類は互いに独立であるだけでなく、ねじれ多項式とも独立な新しいものである。
また、ねじれ多項式の奇数次の項の係数の和は仮想結び目の奇ねじれ数とよばれる。これまでの研究で、奇ねじれ数はクシイ変形と呼ばれる局所変形と対応することを示した。すなわちふたつの仮想結び目が同じ奇ねじれ数をもつための必要十分条件はそれらがクシイ変形で移りあうことである。本年度の研究ではこのクシイ変形を２成分仮想絡み目に拡張し、その同値類に対応する不変量を特徴付けすることに成功した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
昨年度までの研究で、ブランチ点をもたない結び目図式についてすべて調べ、２次元結び目はそのような結び目図式をもたないことを示したが、一般にブランチ点をもつ場合はとても多いのでその分時間がかかると考えられていた。しかし自己交差集合のガウス図を利用することと、曲線の平面性をZ２係数で調べればよいということに気づき、予想以上に早く解決することができた。
また仮想結び目の交差多項式ついて、当初はライデマイスター変形１での振る舞いが非常に複雑で扱いにくかったが、向きを逆転させた仮想結び目の交差多項式と組み合わせたり、補サイクルを利用することにより、大きく進展することができた。
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| 今後の研究の推進方策 |
これまでの研究で、リボンコンコーダントを除いて３重点数が４以下の２次元結び目の表を作成することができた。今後はこの手法をさらに発展させて、３重点数が５である２次元結び目が存在するかどうか（存在しないと予想している）、また３重点数が６の２次元結び目は３ツイストスパン三葉結び目に限るかどうかを調べていく。
今回の研究で発見した２種類の交差多項式について、その性質はまだほとんど分かっていない。特に連結和に関して、通常の不変量がもつような加法性がないという特徴があり、例えばKishino結び目の非自明性を簡単に示すことができる。今後は加法性の破綻がどこからきているのかを明らかにし、連結和の交差多項式に関する性質について調べていく。
これまでの研究で、クシイ変形に対応する不変量は、仮想結び目の場合はねじれ多項式、２成分仮想絡み目の場合は２種類のねじれ多項式と絡み類であることがわかっている。今後は３成分の場合あるいは一般の成分の場合にクシイ変形に対応する不変量が何であるかを明らかにしたい。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
物品が当初予定していたより少し安く購入できたため繰り越しが生じた。本年度の予算と合わせて図書費などに用いる。
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